Углы и увеличение линзы

Задача 1.

(МФТИ, 1992) Луч, падающий на тонкую собирающую линзу под углом $\alpha=23^{\circ}$ к главной оптической оси, пересекает ось на расстоянии $ a= 14$ см от плоскости линзы. Под каким углом к главной оптической оси пойдёт преломлённый линзой луч? Фокусное расстояние линзы $F=21$ см.

Решение. Запишем формулу линзы:

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}$$

Интерпретируем условие так, что $d=14$ см. Тогда

$$\frac{1}{21}=\frac{1}{14}+\frac{1}{f}$$

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{42}$$

Или

$$f=42$$

Далее задача становится похожей на задачу 3, см. рисунок к этой задаче:

$$\frac{x}{14}=\operatorname{tg} 23^{\circ}$$

$$\frac{x}{42}=\operatorname{tg} \gamma$$

Откуда

$$14\operatorname{tg} 23^{\circ}=42\operatorname{tg} \gamma$$

$$\operatorname{tg} \gamma=\frac{14}{42}\operatorname{tg} 23^{\circ}$$

$$\operatorname{tg} \gamma=\frac{0,424}{3}=0,141$$

$$\gamma=\operatorname{arctg} 0,141=8^{\circ}$$

Ответ: $8^{\circ}$.

Задача 2.

(МФТИ, 1992) На тонкую рассеивающую линзу падает луч под углом $\alpha = 8^{\circ}$ к главной оптической оси, пересекая её на расстоянии $a=  4$ см от плоскости линзы. Найти фокусное расстояние линзы, если преломлённый линзой луч идёт под углом $\beta= 12^{\circ}$ к главной оптической оси.

Решение. Продолжение преломленного линзой луча пересечет оптическую ось ближе к линзе, чем падающий на нее луч:

$$\frac{x}{4}=\operatorname{tg} 8^{\circ}$$

$$\frac{x}{z}=\operatorname{tg} 12^{\circ}$$

Откуда

$$4\operatorname{tg} 8^{\circ}=z\operatorname{tg}12^{\circ}$$

$$z=2,64$$

Запишем формулу линзы:

$$-\frac{1}{F}=\frac{1}{d}-\frac{1}{f}$$

Подставим $d=4$ см, $f=z=2,64$. Тогда

$$-\frac{1}{F}=\frac{1}{0,04}-\frac{1}{0,0264}$$

Откуда $F=0,077$

Ответ: 7,7 см, или примерно 8 см.

 

Задача 3.

(МФТИ, 1998) Два луча симметрично пересекают главную оптическую ось собирающей линзы на расстоянии $a = 7,5$ см от линзы под углом $\alpha = 4^{\circ}$ (см. рисунок). Определить угол между этими лучами после прохождения ими линзы, если фокусное расстояние линзы $F = 10$ см.

Рисунок к задаче 3

Решение. Запишем формулу линзы:

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}$$

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{F}-\frac{1}{d}=\frac{1}{0,1}-\frac{1}{0,075}=-3,3$$

$$f=0,3$$

Точка, где луч пересекает ось линзы, с одной стороны, на расстоянии $x$ от главной оптической оси, равном

$$x=a\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}$$

А с другой стороны

$$x=f\operatorname{tg}\beta$$

Откуда, приравняв, имеем:

$$0,075\operatorname{tg}2^{\circ}=0,3\operatorname{tg}\beta $$

Получаем $\beta=0,5^{\circ}$, $2\beta=1^{\circ}$.

Ответ: $1^{\circ}$.

Задача 4.

(«Росатом», 2011, 11) Точечный источник света расположен на главной оптической оси тонкой собирающей линзы на расстоянии $d= 30$ см от линзы. Фокусное расстояние линзы $F= 10$ см. Линзу сместили на расстояние $a = 2$ см в направлении, перпендикулярном главной оптической оси. На какое расстояние переместилось при этом изображение источника?

Решение. Запишем уравнение линзы и найдем расстояние от линзы до изображения. Линза собирающая, изображение действительное, формула линзы:

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}$$

Откуда $f=15$ см.

Смещение линзы на 2 см перпендикулярно главной оптической оси идентично ситуации, когда смещают предмет (в противоположном направлении). Так как

$$\frac{H}{h}=\frac{f}{d}=\frac{15}{30}=\frac{1}{2}$$

То при условном смещении предмета на 2 см, предположим, вверх от главной оптической оси, изображение сместится на 1 см. То есть от новой главной оптической оси линзы окажется в 3 см.

Ответ: 3 см.

 

Задача 5.

(МФТИ, 2006) Тонкая линза создаёт прямое изображение предмета с увеличением 3. Во сколько раз расстояние между предметом и изображением больше фокусного расстояния линзы?

Решение. По условию $\Gamma=3$, то есть

$$\frac{H}{h}=\frac{f}{d}=3$$

$$f=3d$$

Линза собирающая, изображение мнимое, формула линзы

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d}-\frac{1}{f}$$

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d}-\frac{1}{3d}=\frac{2}{3d}$$

$$F=1,5d$$

Расстояние между предметом и изображением $f-d$, искомая величина

$$\frac{f-d}{F}=\frac{3d-d}{1,5d}=\frac{4}{3}$$

Ответ: $\frac{4}{3}$.

Задача 6.

(МФТИ, 2006) Тонкая линза создаёт прямое изображение предмета с увеличением 0,25. Во сколько раз расстояние между предметом и изображением больше фокусного расстояния линзы?

Решение. Собирающая линза никогда не создаст мнимое (прямое) изображение с таким увеличением. Поэтому здесь линза – рассеивающая.

Формула линзы

$$-\frac{1}{F}=\frac{1}{d}-\frac{1}{f}$$

По условию,

$$\frac{H}{h}=\frac{1}{4}=\frac{f}{d}$$

$$d=4f$$

Подставим в формулу линзы:

$$-\frac{1}{F}=\frac{1}{4f}-\frac{1}{f}=-\frac{3}{4f}$$

Откуда

$$F=\frac{4f}{3}$$

Определяем искомое. Расстояние между предметом и изображением в случае рассеивающей линзы - $d-f$,

$$\frac{d-f}{F}=\frac{4f-f}{\frac{4f}{3}}=\frac{9}{4}$$

Ответ: $\frac{9}{4}$.

Задача 7.

(МФТИ, 2006) Тонкая линза создаёт прямое увеличенное изображение предмета, причём расстояние между предметом и изображением в два раза меньше фокусного расстояния линзы. Найдите увеличение.

Решение. Прямое увеличенное изображение (мнимое) может давать только собирающая линза. Поэтому формула линзы

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d}-\frac{1}{f}$$

Так как мнимое изображение в собирающей линзе расположено от линзы дальше предмета, то, по условию,

$$ f -d =\frac{F}{2}$$

Или

$$2(f -d)=F\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$

Преобразуем формулу линзы

$$\frac{1}{F}=\frac{ f - d }{df}$$

Подставим (1):

$$\frac{1}{2(f -d)}=\frac{ f - d }{df}$$

$$\frac{1}{2}=\frac{( f - d)^2}{df}$$

$$( f - d)^2=\frac{1}{2}df$$

Разделим на $d^2$:

$$\Gamma^2 +1-2\Gamma =\frac{1}{2}\Gamma$$

$$\Gamma^2-2,5\Gamma+1=0$$

$$\Gamma=2$$

Второй корень посторонний, так как сказано, что изображение увеличенное.

Ответ: $\Gamma=2$

  

Задача 8.

(МФТИ, 2006) Тонкая линза создаёт прямое уменьшенное изображение предмета, причём расстояние между предметом и изображением в два раза меньше фокусного расстояния линзы. Найдите увеличение.

Решение.  Прямое уменьшенное изображение дает только рассеивающая линза. Поэтому формула линзы

$$-\frac{1}{F}=\frac{1}{d}-\frac{1}{f}$$

Так как изображение в рассеивающей линзе между линзой и предметом, то, по условию,

$$d-f=\frac{F}{2}$$

Или

$$2(d-f)=F \ \ \ \ \ \ \ \ \ \(1)$$

Преобразуем формулу линзы

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{f}-\frac{1}{d}=\frac{d-f}{df}$$

Подставим (1):

$$\frac{1}{2(d-f)}=\frac{d-f}{df}$$

$$\frac{1}{2}=\frac{(d-f)^2}{df}$$

Разделим на $d^2$ правую часть, и числитель, и знаменатель:

$$\frac{1}{2}=\frac{1-2\Gamma+\Gamma^2}{\Gamma}$$

$$\frac{1}{2}\Gamma =1-2\Gamma+\Gamma^2$$

$$\Gamma^2-2,5\Gamma+1=0$$

$$\Gamma=\frac{1}{2}$$

Второй корень посторонний, так как сказано, что изображение уменьшенное.

Ответ: $\Gamma=\frac{1}{2}$