Три задачи с линзами

Задача 1.

Линза, состоящая из двух сложенных вплотную одинаковых «половинок», даёт на экране изображение светящейся точки. Фокусное расстояние линзы $F=8$ см, ее расстояние от экрана $f=24$ см. На сколько необходимо переместить вверх верхнюю «половинку» линзы, чтобы расстояние $l$ между изображениями на экране было равно 1,5 см?

Решение. Начнем с формулы линзы

$$\frac{1}{F} =\frac{1}{d}+\frac{1}{f}$$

$$\frac{1}{d}=\frac{1}{F}-\frac{1}{f}=\frac{1}{8}-\frac{1}{24}=\frac{1}{12}$$

Таким образом, $d=12$ см.

Пусть точка находится на ГОО. Тогда ее изображение будет там же: на главной оптической оси. Если переместить вверх половинку линзы, то первое изображение останется на месте (оно дается нетронутой половинкой), а появится второе (оно дается передвинутой половинкой). Это второе изображение все так же на расстоянии 24 см от линзы. Но уже не на главной оптической оси, а в плоскости, параллельной линзе, и, поскольку

$$\frac{h}{H}=\frac{d}{f}=2$$

И  $l=1,5$то $x=0,5$ см – во-первых, расстояние от ГОО' до нового изображения $2x$, во-вторых, расстояние от ГОО до ГОО' равно $x$ - всего $3x$ 

Ответ: 0,5 см.

Задача 2.

С помощью тонкой линзы получается увеличенное в два раза действительное изображение плоского предмета. Если предмет сместить на 1 см в сторону линзы, то изображение будет увеличенным в три раза. Чему равно фокусное расстояние линзы?

Решение. Если изображение действительное, значит, линза собирающая и предмет расположен далее фокусного расстояния от нее. Запишем уравнение линзы:

$$\frac{1}{F} =\frac{1}{d}+\frac{1}{f}$$

Так как размер изображения $H$ и размер предмета $h$ связаны

$$\frac{d}{f}=\frac{h}{H}=\frac{1}{2}$$

$$2d=f$$

Подставим это в уравнение линзы:

$$\frac{1}{F} =\frac{1}{d}+\frac{1}{2d}=\frac{3}{2d}$$

Теперь передвигаем предмет, при этом новое расстояние от предмета до линзы $d-1$, а отношение размеров изображения и предмета 3, поэтому

$$\frac{1}{F} =\frac{1}{d-0,01}+\frac{1}{3(d-0,01)}=\frac{4}{3(d-0,01)}$$

Приравняем правые части (так как левые равны)

$$\frac{3}{2d}=\frac{4}{3(d-0,01)}$$

$$ d-0,01=\frac{9}{8}d$$

$$d=0,09$$

Ранее вывели, что

$$F=\frac{2}{3}d=0,06$$

Ответ: 6 см.

Задача 3.

Линза изготовлена из стекла, показатель преломления которого для красных лучей равен $n_k=1,5$, а для фиолетовых -  $n_f=1,52$. Радиусы кривизны обеих поверхностей линзы одинаковы и равны 1 м. Определить расстояние между фокусами линзы для красных и фиолетовых лучей.

Решение. Используем известную формулу для фокусного расстояния линзы, которая включает в себя радиусы кривизны поверхностей:

$$F_k=(n_k-1)\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right)=(1,5-1)\cdot(1+1)=0,5\cdot 2=1$$

$$F_f=(n_f-1)\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right)=(1,52-1)\cdot(1+1)=0,52\cdot 2=1,04$$

Разность фокусных расстояний – это и есть расстояние между фокусами. Оно равно 0,04 м или 4 см.

Ответ: 4 см.