Составные линзы и мнимый предмет

Задача 1.

Две тонкие плосковыпуклые линзы, будучи сложены плоскими сторонами, образуют линзу с фокусным расстоянием $F_1$. Найдите фокусное расстояние линзы, которая получится, если сложить эти линзы выпуклыми сторонами, а пространство между ними заполнить водой. Показатель преломления стекла 1,66, воды 1,33.

Решение: если сложить линзы плоскими сторонами, получим двояковыпуклую линзу, оптическая сила которой будет равна сумме оптических сил обеих линз:

$$\frac{1}{F_1}=(n-1)\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right)$$

Теперь приложим линзы выпуклыми сторонами. Получается, что сложены вместе три линзы: первая стеклянная плосковыпуклая, вторая – водная, двояковогнутая, и третья, стеклянная.

$$\frac{1}{F_2}=(n-1)\cdot \frac{1}{R_1}-(n_0-1)\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right)+(n-1) \cdot \frac{1}{R_2}$$

$$\frac{1}{F_2}=\frac{1}{F_1}-(n_0-1)\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right)$$

$$\frac{1}{F_2}=\frac{1}{F_1}-(n_0-1)\cdot\frac{(n-1)}{(n-1)}\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right)$$

$$\frac{1}{F_2}=\frac{1}{F_1}-(n_0-1)\cdot\frac{1}{F_1(n-1)}$$

Еще раз преобразуем:

$$\frac{1}{F_2}=\frac{1}{F_1}\left(1-\frac{n_0-1}{n-1}\right)= \frac{1}{F_1}\left(1-\frac{0,33}{0,66}\right)=\frac{1}{2F_1}$$

Откуда

$$F_2=2F_1$$

Ответ: $F_2=2F_1$

Задача 2.

На пути сходящегося пучка поставили собирающую линзу с фокусным расстоянием $F=10$ см, в результате чего лучи сошлись на расстоянии $f=5$ см от линзы. Где пересекутся лучи, если линзу убрать?

Рисунок к задаче 2

Решение: запишем уравнение линзы в случае сходящегося пучка лучей. Этот случай еще называют «мнимый предмет» и минус в уравнении линзы в этом случае появляется перед слагаемым $\frac{1}{d}$:

$$\frac{1}{F}=-\frac{1}{d}+\frac{1}{f}$$

$$\frac{1}{0,1}=-\frac{1}{d}+\frac{1}{0,05}$$

$$10-20=-\frac{1}{d}$$

$$d=0,1$$

Это и будет ответом (см. рисунок).

Ответ: 10 см.

Задача 3.

Световой луч падает на поверхность стеклянного шара. Угол падения луча $\alpha=45^{\circ}$, показатель преломления стекла $n=1,41$. Найти угол $\gamma$ между падающим лучом и лучом, вышедшим из шара.

Рисунок к задаче 3

Решение: по закону Снеллиуса

$$\frac{\sin \alpha}{\sin \beta}=n$$

$$\ sin \beta=\frac{\sin \alpha}{n}=\frac{\sin 45^{\circ}}{1,41}=\frac{1}{2}$$

Следовательно, $\beta=30^{\circ}$, а

$$\gamma=2(45^{\circ}-\beta)=30^{\circ}$$

Ответ: $30^{\circ}$