Сложные построения в линзах

Задача 1.

Кубический кристалл хлористого калия разрезан по диагонали и половинки раздвинуты на небольшое расстояние. На боковую грань падает тонкий луч света, содержащий излучение двух длин волн -$\lambda_1$ и $\lambda_2$ Из кристалла выходят два пучка света — один, содержащий в основном излучение длины волны $\lambda_1$ и небольшую примесь излучения длины волн $\lambda_2$, и второй, содержащий излучение только длины волны $\lambda_2$. Определите угол между этими двумя пучками. Показатель преломления хлористого калия для длины волны $\lambda_1$ равен 1,425, а для длины волны $\lambda_2$ — 1,403.

Рисунок к задаче 1

Решение. Предельный угол для первой волны

$$\sin \alpha=\frac{1}{n_1}=\frac{1}{1,425}=0,702$$

$$\alpha=44,56^{\circ}$$

Предельный угол для второй волны

$$\sin \beta=\frac{1}{n_2}=\frac{1}{1,403}=0,713$$

$$\beta=45,46^{\circ}$$

На границу раздела лучи падают под углом $45^{\circ}$ Поэтому излучение второй длины волны отразится (угол больше предельного). Лучи второй длины  волны пойдут по вертикальному направлению вниз, а лучи первой длины волны преломятся дважды (на обоих разделах сред) и под тем же углом – горизонтально – выйдут из пластинки. Поэтому угол между пучками - $90^{\circ}$.

 Ответ: $90^{\circ}$.

Задача 2.

Трапеция $ABCD$ расположена так, что ее параллельные стороны $AB$ и $CD$ перпендикулярны главной оптической оси тонкой линзы.  Линза создает мнимое изображение трапеции $ABCD$ в виде трапеции с теми же самыми углами. Если повернуть трапецию $ABCD$  на  вокруг стороны $AB$, то линза создает изображение трапеции в виде прямоугольника. С каким увеличением изображается сторона $AB$?

Решение: так как первое изображение мнимое, следовательно, обе стороны трапеции (оба основания) ближе расположены, чем фокус.

Мнимое изображение трапеции A'B'C'D' с теми же углами.

Если изображение получается в виде прямоугольника (после поворота вокруг АВ), следовательно, после линзы лучи идут параллельно, а это бывает, если до линзы они проходили через фокус.

Изображение трапеции в виде прямоугольника

Из рисунка видно, что точки $A$ и $B$ находятся на расстоянии $\frac{F}{2}$ от линзы.

$$\Gamma=\frac{F}{F-d}=\frac{F}{0,5F}=2$$

Ответ: 2.

Задача 3.

Боковая сторона прямоугольной трапеции $ABCD$, примыкающая к ее прямым углам, расположена на главной оптической оси тонкой линзы. Линза создает действительное изображение трапеции в виде трапеции с теми же самыми углами. Если повернуть трапецию $ABCD$  на  вокруг стороны $AB$,  то линза создает изображение трапеции в виде прямоугольника. С каким увеличением отображается сторона АВ?

Решение.  Построим первоначальное изображение трапеции.

Действительное изображение трапеции с теми же углами

Точки $B$ и $C$ лежат на одной прямой как до линзы, так и после нее. Это будет выполняться, если указанная прямая проходит через двойной фокус линзы.

Когда трапецию развернут, точки $B$ и $C$ изображения трапеции лежат на прямой, параллельной ГОО, значит, до линзы этот луч шел через ее фокус:

Изображение трапеции в виде прямоугольника

Треугольник $2F-B-F$ равнобедренный, значит, точки $A$ и $B$ отстоят от линзы на $\frac{3}{2}F$. Воспользуемся формулой тонкой линзы

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}$$

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{F}-\frac{1}{d}=\frac{1}{F}-\frac{1}{1,5F}=\frac{1}{3F}$$

Откуда увеличение

$$\Gamma=\frac{f}{d}=\frac{3F}{1,5F}=2$$

Или можно было бы посчитать и по формуле

$$\Gamma=\frac{F}{ d - F }=\frac{F}{0,5F}=2$$

Ответ: 2