Разные задачи с линзами

Задача 1.

Два луча симметрично пересекают главную оптическую ось собирающей линзы на расстоянии $a=7,5$ см  от линзы под углом $\alpha=4^{\circ}$ (см. рис.). Определить угол между этими лучами после прохождения ими линзы, если фокусное расстояние линзы $F=10$ см.

Рисунок к задаче 1

Решение: проведем фокальную плоскость и проведем вспомогательный луч через оптический центр линзы:

Ход лучей после линзы

$$\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}=\frac{x}{a}=\frac{y}{F}$$

$$x=a\cdot \operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}$$

$$y=F\cdot \operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}$$

$$\operatorname{tg}\frac{\beta}{2}=\frac{y-x}{F}$$

$$y-x=\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}(F-a)$$

$$\operatorname{tg}\frac{\beta}{2}=\frac{\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}(F-a)}{F}=\frac{2,5}{10}\operatorname{tg}2^{\circ}=0,0087$$

$$\beta=2\operatorname{arctg}(0,0087)=1$$

Это в градусах. А в радианах это $\frac{1}{57}=0,017$.

Ответ: $4^{\circ}$ или $0,017$ радиана.

Задача 2.

Если тонкую линзу опустить в воду $(n_0=\frac{4}{3})$, то ее фокусное расстояние $F_0=1$ м. Если ее опустить в сероуглерод $(n_c=1,6)$ то ее фокусное расстояние возрастет до $F_c=10$ м. Найдите фокусное расстояние линзы в воздухе.

Решение. Запишем две формулы линзы:

$$\frac{1}{F_0}=\left(\frac{n}{n_0}-1\right)\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right)$$

$$\frac{1}{F_c}=\left(\frac{n}{n_c}-1\right)\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right)$$

Тогда величина

$$\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}=\frac{1}{F_0}\cdot\frac{n_0}{n-n_0}$$

С другой стороны,

$$\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}=\frac{1}{F_c}\cdot\frac{n_c}{n-n_c}$$

Приравняем

$$\frac{1}{F_0}\cdot\frac{n_0}{n-n_0}=\frac{1}{F_c}\cdot\frac{n_c}{n-n_c}$$

Откуда

$$n=1,64$$

Ответ: $n=1,64$

Задача 3.

Точечный источник света находится на главной оптической оси $OO^{\prime}$ линзы. Когда он находился в точке А, его изображение было в точке В, а когда его переместили в точку В, его изображение попало в точку С. Найти фокусное расстояние линзы, если $AB=10$ см, $BC=20$ см.

Рисунок к задаче 2

Решение. Изображение оказывается правее источника в обоих случаях. Линза рассеивающая. Тогда она расположена правее В и правее С.

Расстояние от линзы до изображения

Запишем уравнение линзы для обоих случаев:

$$-\frac{1}{F}=\frac{1}{f+0,1}-\frac{1}{f}$$

$$-\frac{1}{F}=\frac{1}{f}-\frac{1}{f-0,2}$$

Приравняем одинаковые правые части:

$$\frac{1}{f+0,1}-\frac{1}{f}=\frac{1}{f}-\frac{1}{f-0,2}$$

$$\frac{f-f-0,1}{f(f+0,1)}=\frac{f-0,2-f}{f(f-0,2)}$$

Откуда:

$$f-0,2=2f+0,2$$

$$f=-0,4$$

Теперь подставим, чтобы найти $F$:

$$-\frac{1}{F}=\frac{1}{-0,4+0,1}-\frac{1}{-0,4}$$

$$-\frac{1}{F}=\frac{1}{-0,3}+\frac{1}{0,4}$$

$$F=1,2$$

Ответ: $F=1,2$ м.