Преломление - подготовка к олимпиадам - 2

Решаем задачи на закон Снелла. Будут призмы и неровная поверхность воды...

Задача 1.

Поверхности воды касается равнобедренная стеклянная призма АВС (см. рисунок). Луч света, падающий из воздуха под углом на грань АС, после прохождения призмы выходит через грань АВ под тем же углом . Чему равен угол преломления ? Показатель преломления воды , угол С при вершине призмы — прямой. Величина угла  неизвестна.

Решение. Если показатель преломления стекла равен , то для преломления на грани

А для преломления на грани :

Призма прямоугольная, равнобедренная, значит, ее острые углы по .

В треугольнике :

(внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним).

Угол (как углы с попарно перпендикулярными сторонами).

Таким образом,

Раскрываем синус разности:

Разделим на :

Ответ:

Задача 2.

Две одинаковые прямоугольные призмы с углом при вершине  имеют несколько отличающиеся показатели преломления. Призмы приложены друг к другу своими гипотенузными гранями (см. рисунок). При освещении системы пучком света, падающим нормально на переднюю грань, оказалось, что выходящий пучок отклонился от первоначального направления распространения на угол . Найти разность показателей преломления . Углы и   считать достаточно малыми.

Решение. Пусть . Луч падает перпендикулярно поверхности первой призмы, и не преломляется. На границу раздела материалов двух призм луч падает под углом и выходит под углом .

Можно перейти к самим углам, так как они малы

Затем луч преломится на противоположной поверхности второй призмы, и выйдет в воздух. Для этого преломления запишем также закон Снелла:

Откуда

Тогда, возвращаясь к первому записанному нами закону Снелла, подставим туда полученный :

Рассмотрим треугольник , сумма его углов :

Подставляем в (1):

Так как приняли, что , то

Ответ: .

Задача 3.

В вертикальный цилиндрический стакан налита вязкая жидкость с коэффициентом преломления . Сверху в стакан вертикально падает параллельный пучок света постоянной интенсивности. Стакан с жидкостью раскрутили вокруг его оси до угловой скорости рад/с, и при этом высота столба жидкости на оси стакана стала равной см. На сколько процентов изменилась после раскручивания интенсивность света, падающего вблизи центра дна стакана? Ускорение свободного падения м/с, поглощением света в жидкости и отражением его внутри стакана пренебречь.

Решение. За счет искривления поверхности жидкости во время вращения изменяется угол падения лучей на нее: он увеличивается. А это означает, что и угол преломления увеличится. Лучи, которые падали прежде на ровную поверхность и не преломлялись, а так и шли прямым потоком ко дну сосуда, теперь образуют расходящийся пучок. Для них

Теперь площадь пятна на дне стала больше. То есть то же количество энергии распределяется на большую площадь.

Так как углы малы, то

Обратимся к динамике и для объема воды малой массы запишем уравнения по второму закону Ньютона в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси:

Последнее перепишем, чтобы получить связь с :

Разделим это уравнение на первое:

Из-за малости углов тангенс можно заменить на сам угол:

Через угол можно выйти на угол , а он поможет нам перейти к новой площади пятна на дне.

Подставим некоторые известные величины (хотя я обычно против частичной подстановки)

С другой стороны,

Тогда старый радиус пятна , новый радиус пятна . Площадь пятна вначале , а после раскручивания .

Таким образом, прежняя энергия теперь падает на площадь, большую в 1,02 раза. Через пропорцию устанавливаем, что на площадь теперь падает - изменение на 2% примерно.

Ответ: на 2% меньше.