Рубрики

Преломление - подготовка к олимпиадам

14.09.2022 08:30:15 | Автор: Анна

Решаем задачи по геометрической оптике - готовимся к олимпиадам. Здесь снова зеркало и закон Снелла.

Задача 1.

По столу катится шарик со скоростью Преломление - подготовка к олимпиадам. В противоположном направлении со скоростью Преломление - подготовка к олимпиадам перемещают поступательно плоское зеркало АВ (рис.). Поверхность зеркала составляет угол Преломление - подготовка к олимпиадам с поверхностью стола. Найти скорость изображения шарика в зеркале относительно стола.


К задаче 1

Решение. Перейдем в систему отсчета зеркала. В этой системе отсчета шарик движется в направлении зеркала со скоростью Преломление - подготовка к олимпиадам.


СО зеркала

Значит, его изображение тоже движется в зеркале с такой скоростью.


Изображение шарика в СО зеркала

Теперь надо вернуться обратно в СО стола. Изобразим скорость зеркала:


Скорость зеркала

Определяем относительную скорость из треугольника скоростей:


Переход обратно в СО земли

Преломление - подготовка к олимпиадам

Преломление - подготовка к олимпиадам

Ответ: Преломление - подготовка к олимпиадам

Задача 2.

На некотором расстоянии от стеклянного шара находится точечный источник света, дающий узкий световой пучок, ось которого проходит через центр шара. При каких значениях показателя преломления стекла Преломление - подготовка к олимпиадам изображение источника будет находиться вне шара независимо от расстояния шара до источника?


К задаче 2

Решение. Пусть луч от источника падает на шар в такую точку, что пересекает главную оптическую ось как раз в месте, где она пересекает заднюю поверхность шара. Обозначим расстояние от источника до шара Преломление - подготовка к олимпиадам. Угол падения луча Преломление - подготовка к олимпиадам, угол преломления Преломление - подготовка к олимпиадам. Треугольник Преломление - подготовка к олимпиадам  равнобедренный, поэтому оба его острых угла равны Преломление - подготовка к олимпиадам, а внешний угол при вершине тогда Преломление - подготовка к олимпиадам. Запишем закон Снелла:

Преломление - подготовка к олимпиадам

При малых углах синусы можно заменить на сами углы:

Преломление - подготовка к олимпиадам

Обратим внимание, что угол Преломление - подготовка к олимпиадам (как накрестлежащий), и угол Преломление - подготовка к олимпиадам. Угол Преломление - подготовка к олимпиадам, тогда угол Преломление - подготовка к олимпиадам. Следовательно, угол Преломление - подготовка к олимпиадам равен Преломление - подготовка к олимпиадам. Тангенс этого угла равен Преломление - подготовка к олимпиадам. Так как угол мал, то можно заменить тангенс на сам угол:

Преломление - подготовка к олимпиадам

С другой стороны,  в треугольнике Преломление - подготовка к олимпиадам

Преломление - подготовка к олимпиадам

Т.е.

Преломление - подготовка к олимпиадам

Подставим из (1):

Преломление - подготовка к олимпиадам

Сокращаем:

Преломление - подготовка к олимпиадам

Преломление - подготовка к олимпиадам

Преломление - подготовка к олимпиадам

Преломление - подготовка к олимпиадам

Если показатель преломления меньше данного, то угол Преломление - подготовка к олимпиадам больше рассмотренного и луч пересечет главную оптическую ось за шаром. Чем дальше отодвигаем источник (больше Преломление - подготовка к олимпиадам), тем меньше дробь Преломление - подготовка к олимпиадам, и тем ближе показатель преломления к 2. Это наименьший показатель преломления. Значит, если реальный показатель меньше Преломление - подготовка к олимпиадам, то изображение точно вне шара.

Ответ: при Преломление - подготовка к олимпиадам.

Задача 3.

Оптически прозрачный шар радиуса Преломление - подготовка к олимпиадам помещен в параллельный пучок лучей света. Минимальное расстояние, пройденное одним из преломленных лучей внутри шара (до первого пересечения с поверхностью), оказалось равным Преломление - подготовка к олимпиадам. Найти показатель преломления материала шара.

Решение. Самый короткий путь проделает луч, идущий через вершину шара по касательной. Он «стелется» по поверхности, поэтому преломится под предельным углом:

Преломление - подготовка к олимпиадам


К задаче 3

Для треугольника Преломление - подготовка к олимпиадам можно записать теорему Пифагора:

Преломление - подготовка к олимпиадам

Подставим данные с рисунка:

Преломление - подготовка к олимпиадам

Упрощаем:

Преломление - подготовка к олимпиадам

По условию:

Преломление - подготовка к олимпиадам

Тогда половинка этого расстояния:

Преломление - подготовка к олимпиадам

Половинка расстояния в квадрате:

Преломление - подготовка к олимпиадам

Подставим в теорему Пифагора:

Преломление - подготовка к олимпиадам

Преломление - подготовка к олимпиадам

Преломление - подготовка к олимпиадам

Преломление - подготовка к олимпиадам

Ответ: Преломление - подготовка к олимпиадам.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Комментарий

Облако меток

Архивы