Преломление - подготовка к олимпиадам

Решаем задачи по геометрической оптике - готовимся к олимпиадам. Здесь снова зеркало и закон Снелла.

Задача 1.

По столу катится шарик со скоростью $\upsilon$. В противоположном направлении со скоростью $2\upsilon$ перемещают поступательно плоское зеркало АВ (рис.). Поверхность зеркала составляет угол $60^{\circ}$ с поверхностью стола. Найти скорость изображения шарика в зеркале относительно стола.

К задаче 1

Решение. Перейдем в систему отсчета зеркала. В этой системе отсчета шарик движется в направлении зеркала со скоростью $3\upsilon$.

СО зеркала

Значит, его изображение тоже движется в зеркале с такой скоростью.

Изображение шарика в СО зеркала

Теперь надо вернуться обратно в СО стола. Изобразим скорость зеркала:

Скорость зеркала

Определяем относительную скорость из треугольника скоростей:

Переход обратно в СО земли

$$\upsilon_{otn}^2=(3\upsilon)^2+(2\upsilon)^2-2\cdot 3\upsilon\cdot 2\upsilon\cdot\cos 120^{\circ}=13\upsilon^2+6\upsilon^2=19\upsilon^2$$

$$\upsilon_{otn}=\upsilon\sqrt{19}$$

Ответ: $\upsilon_{otn}=\upsilon\sqrt{19}$

Задача 2.

На некотором расстоянии от стеклянного шара находится точечный источник света, дающий узкий световой пучок, ось которого проходит через центр шара. При каких значениях показателя преломления стекла $n$ изображение источника будет находиться вне шара независимо от расстояния шара до источника?

К задаче 2

Решение. Пусть луч от источника падает на шар в такую точку, что пересекает главную оптическую ось как раз в месте, где она пересекает заднюю поверхность шара. Обозначим расстояние от источника до шара $b$. Угол падения луча $\alpha$, угол преломления $\beta$. Треугольник $ABC$  равнобедренный, поэтому оба его острых угла равны $\beta$, а внешний угол при вершине тогда $2\beta$. Запишем закон Снелла:

$$\frac{\sin \alpha}{\sin \beta}=n$$

При малых углах синусы можно заменить на сами углы:

$$\frac{\alpha}{\beta}=n~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$

Обратим внимание, что угол $BAD=2\beta$ (как накрестлежащий), и угол $DAC=\beta$. Угол $BAF=90-2\beta$, тогда угол $EAF=180^{\circ}-\alpha-(90^{\circ}-2\beta)=90^{\circ}+2\beta-\alpha$. Следовательно, угол $AEF$ равен $\alpha -2\beta$. Тангенс этого угла равен $\operatorname{tg}{\alpha -2\beta}\approx \frac{h}{b}$. Так как угол мал, то можно заменить тангенс на сам угол:

$$\alpha -2\beta\approx \frac{h}{b}$$

С другой стороны,  в треугольнике $BAF$

$$\operatorname{tg}{2\beta}=\frac{h}{R}$$

Т.е.

$$h=b(\alpha -2\beta)=2\beta R$$

Подставим из (1):

$$ b(n\beta -2\beta)=2\beta R$$

Сокращаем:

$$ b(n -2)=2R$$

$$n-2=\frac{2R}{b}$$

$$n=2+\frac{2R}{b}$$

$$n=2\left(1+\frac{R}{b}\right)$$

Если показатель преломления меньше данного, то угол $\beta$ больше рассмотренного и луч пересечет главную оптическую ось за шаром. Чем дальше отодвигаем источник (больше $b$), тем меньше дробь $\frac{R}{b}$, и тем ближе показатель преломления к 2. Это наименьший показатель преломления. Значит, если реальный показатель меньше $n=2$, то изображение точно вне шара.

Ответ: при $n<2$.

Задача 3.

Оптически прозрачный шар радиуса $R$ помещен в параллельный пучок лучей света. Минимальное расстояние, пройденное одним из преломленных лучей внутри шара (до первого пересечения с поверхностью), оказалось равным $R\cdot \frac{\sqrt{7}}{2}$. Найти показатель преломления материала шара.

Решение. Самый короткий путь проделает луч, идущий через вершину шара по касательной. Он «стелется» по поверхности, поэтому преломится под предельным углом:

$$\sin \alpha_{pr}=\frac{1}{n}$$

К задаче 3

Для треугольника $ABC$ можно записать теорему Пифагора:

$$AC^2+BC^2=AB^2$$

Подставим данные с рисунка:

$$\left(\frac{x}{2}\right)^2+(R\sin\alpha_{pr})^2=R^2$$

Упрощаем:

$$\frac{x^2}{4}=R^2-R^2\sin^2 \alpha_{pr}=R^2\left(1-\frac{1}{n^2}\right)$$

По условию:

$$x= R\cdot \frac{\sqrt{7}}{2}$$

Тогда половинка этого расстояния:

$$\frac{x}{2}=R\cdot \frac{\sqrt{7}}{4}$$

Половинка расстояния в квадрате:

$$\frac{x^2}{4}=R^2\frac{7}{16}$$

Подставим в теорему Пифагора:

$$ R^2\frac{7}{16}= R^2\left(1-\frac{1}{n^2}\right)$$

$$ \frac{7}{16}= 1-\frac{1}{n^2}$$

$$\frac{1}{n^2}=1-\frac{7}{16}=\frac{9}{16}$$

$$\frac{1}{n}=\frac{3}{4}$$

Ответ: $n=\frac{4}{3}$.