Преломление - подготовка к олимпиадам

Решаем задачи по геометрической оптике - готовимся к олимпиадам. Здесь снова зеркало и закон Снелла.

Задача 1.

По столу катится шарик со скоростью . В противоположном направлении со скоростью перемещают поступательно плоское зеркало АВ (рис.). Поверхность зеркала составляет угол с поверхностью стола. Найти скорость изображения шарика в зеркале относительно стола.

К задаче 1

Решение. Перейдем в систему отсчета зеркала. В этой системе отсчета шарик движется в направлении зеркала со скоростью .

СО зеркала

Значит, его изображение тоже движется в зеркале с такой скоростью.

Изображение шарика в СО зеркала

Теперь надо вернуться обратно в СО стола. Изобразим скорость зеркала:

Скорость зеркала

Определяем относительную скорость из треугольника скоростей:

Переход обратно в СО земли

Ответ:

Задача 2.

На некотором расстоянии от стеклянного шара находится точечный источник света, дающий узкий световой пучок, ось которого проходит через центр шара. При каких значениях показателя преломления стекла изображение источника будет находиться вне шара независимо от расстояния шара до источника?

К задаче 2

Решение. Пусть луч от источника падает на шар в такую точку, что пересекает главную оптическую ось как раз в месте, где она пересекает заднюю поверхность шара. Обозначим расстояние от источника до шара . Угол падения луча , угол преломления . Треугольник  равнобедренный, поэтому оба его острых угла равны , а внешний угол при вершине тогда . Запишем закон Снелла:

При малых углах синусы можно заменить на сами углы:

Обратим внимание, что угол (как накрестлежащий), и угол . Угол , тогда угол . Следовательно, угол равен . Тангенс этого угла равен . Так как угол мал, то можно заменить тангенс на сам угол:

С другой стороны,  в треугольнике

Т.е.

Подставим из (1):

Сокращаем:

Если показатель преломления меньше данного, то угол больше рассмотренного и луч пересечет главную оптическую ось за шаром. Чем дальше отодвигаем источник (больше ), тем меньше дробь , и тем ближе показатель преломления к 2. Это наименьший показатель преломления. Значит, если реальный показатель меньше , то изображение точно вне шара.

Ответ: при .

Задача 3.

Оптически прозрачный шар радиуса помещен в параллельный пучок лучей света. Минимальное расстояние, пройденное одним из преломленных лучей внутри шара (до первого пересечения с поверхностью), оказалось равным . Найти показатель преломления материала шара.

Решение. Самый короткий путь проделает луч, идущий через вершину шара по касательной. Он «стелется» по поверхности, поэтому преломится под предельным углом:

К задаче 3

Для треугольника можно записать теорему Пифагора:

Подставим данные с рисунка:

Упрощаем:

По условию:

Тогда половинка этого расстояния:

Половинка расстояния в квадрате:

Подставим в теорему Пифагора:

Ответ: .