Луч выходит из струи

Задача.

По оси горизонтально расположенной трубы внутренним диаметром $d$ распространяется узкий световой пучок. Труба заполнена жидкостью с показателем преломления $n$, движущейся с некоторой скоростью и вытекающей из открытого конца трубы свободной струей. Какова должна быть скорость течения жидкости $\upsilon_0$, чтобы пучок вышел в воздух при первом падении на границу струи? Изменением поперечного сечения струи при движении жидкости в воздухе пренебречь.

Рисунок к задаче

Решение. пусть $\alpha$ – угол падения луча на поверхность раздела сред (угол между красным перпендикуляром к поверхности раздела и $\upsilon_x$. Но скорость направлена под углом $\alpha$ к вертикали (угол между $\upsilon_y$ и $\upsilon$).  Эти углы равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами, так как синий вектор скорости направлен по касательной, а она перпендикулярна красному отрезку.

Обозначили скорость и перпендикуляр к касательной. От этого перпендикуляра отсчитываем углы падения и отражения

$$\sin \alpha=\frac{\upsilon_x}{\upsilon}=\frac{\upsilon_x}{\sqrt{\upsilon_x^2+\upsilon_y^2}}$$

Начальная скорость струи сохраняется в видк горизонтальной составляющей скорости и остается равной

$$\upsilon_x=\upsilon_0$$

Вертикальная составляющая скорости растет со временем, и может быть найдена из закона сохранения энергии:

$$mgh=\frac{m\upsilon_y^2}{2}$$

Откуда

$$\upsilon_y=\sqrt{2gh}=\sqrt{gd}$$

Подставим в выражение для синуса:

$$\sin \alpha=\frac{\upsilon_0}{\sqrt{\upsilon_0^2+gd}}$$

С другой стороны, чтобы луч вышел из оптически более плотной среды в менее плотную (из воды в воздух), должно выполняться условие по предельному углу преломления:

$$\sin \alpha \leqslant \frac{1}{n}$$

$$\frac{\upsilon_0}{\sqrt{\upsilon_0^2+gd}}\leqslant \frac{1}{n}$$

$$\frac{\upsilon_0^2}{\upsilon_0^2+gd}\leqslant \frac{1}{n^2}$$

$$\upsilon_0 \leqslant \sqrt{\frac{gd}{n^2-1}}$$

Ответ: $\upsilon_0 \leqslant \sqrt{\frac{gd}{n^2-1}}$