Линейное увеличение линзы и задачи с графиками- 2

Задача 4.

Тонкая линза создает изображение предмета, расположенного перпендикулярно главной оптической оси, с некоторым увеличением. Если расстояние от предмета до линзы увеличить вдвое, то получается изображение предмета с увеличением, вдвое большим первоначального увеличения. С каким увеличением изображался предмет вначале?

Решение.  Глядя на график зависимости $\Gamma(d)$ для рассеивающей линзы, понимаем, что здесь не удастся создать условия задачи – увеличить $\Gamma$ при увеличении $d$.

Рисунок к задаче 4, который не подходит

Поэтому линза собирающая. Вероятно, искомая точка находилась вначале на ветви для мнимых изображений, а потом, при увеличении $d$, перешла на ветвь действительных:

Рисунок к задаче 4, который подходит

Следовательно, можно записать:

$$\Gamma_1=\frac{F}{F-d_1}$$

$$\Gamma_2=\frac{F}{2d_1-F}$$

$$\Gamma_1\cdot 2=\Gamma_2$$

Подставим:

$$\frac{F}{F-d_1}\cdot 2=\frac{F}{2d_1-F}$$

Упростим:

$$\frac{2}{F-d_1}=\frac{1}{2d_1-F}$$

$$4d_1-2F=F-d_1$$

$$5d_1=3F$$

$$d_1=0,6F$$
Определим $\Gamma_1$:

$$\Gamma_1=\frac{F}{F-d_1}=\frac{F}{F-0,6F}=2,5$$

Ответ: сначала изображение было в 2,5 раза больше предмета.

Задача 5.

Плоское зеркало вплотную прижато к собирающей линзе с фокусным расстоянием $F= 40$ см. Эта система создает действительное изображение предмета с увеличением $\Gamma$. Предмет расположен перпендикулярно главной оптической оси. Если, не меняя взаимного расположения линзы и предмета, убрать зеркало, то линза создает мнимое изображение предмета с увеличением $2\Gamma$. Определите расстояние от предмета до линзы.

Решение: так как лучи отражаются в зеркале, то они дважды проходят через линзу. То есть на самом деле такая система эквивалентна составленным вплотную двум линзам. Так как при такой постановке оптические силы складываются, то фокусное расстояние такой системы – 20 см. Когда зеркало уберут, фокусное снова станет равно 40 см. Мы решаем задачу с помощью графиков – у нас это эквивалентно переходу на новый график:

Рисунок к задаче 5

Тогда

$$\Gamma_1=\frac{F}{ d - F }$$

$$\Gamma_2=\frac{2F}{2F-d}$$

$$\Gamma_1\cdot 2=\Gamma_2$$

Подставим

$$\frac{F}{d-F}\cdot 2=\frac{2F}{2F-d}$$

$$d-F=2F-d$$

$$d=\frac{3}{2}F$$

Ответ: $d=\frac{3}{2}F$.

Задача 6.

С помощью неподвижной тонкой линзы получено прямое изображение предмета с трехкратным увеличением, причем расстояние от предмета до его изображения составляет $z = 15$ см. Предмет расположен перпендикулярно главной оптической оси линзы. На какое расстояние вдоль главной оптической оси линзы следует переместить предмет, чтобы размер его изображения стал равен размеру предмета?

Решение. Сначала $\Gamma_1=3$, затем $\Gamma_2=1$. Так как рассеивающая линза не дает трехкратного увеличения, то речь идет о линзе собирающей. Причем точка находилась на ветви мнимых изображений – потому что прямое изображение получено.

Рисунок к задаче 6

В этом случае

$$\Gamma_1=\frac{f}{d}=\frac{15+d}{d}=3$$

$$15+d=3d$$

$$d=\frac{15}{2}$$

$$f=\frac{45}{2}$$

Тогда формула линзы

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d}-\frac{1}{f}$$

$$\frac{1}{F}=\frac{4}{45}$$

$$F=11,25$$
Чтобы новое увеличение было равно 1, нужно передвинуть предмет на расстояние $2F$ от линзы. То есть он должен оказаться на расстоянии 22,5 см от линзы. А был на расстоянии $d=7,5$ см. Значит, передвигаем на 15 см.

Ответ: 15 см.

Задача 7.

Тонкая линза создает изображение предмета, расположенного перпендикулярно главной оптической оси, с четырехкратным увеличением. Предмет перемещают (не трогая линзу) вдоль главной оптической оси и получают изображение с тем же увеличением. При этом предмет остается по одну сторону от линзы. Найти перемещение предмета, если фокусное расстояние линзы составляет $F = 20$ см.

Решение. Речь идет о линзе собирающей, только у нее две ветви на графике и можно получить одно и то же увеличение для предмета на разных от нее расстояниях. Сначала находились на «мнимой» ветке, потом перешли на действительную. Тогда

$$\Gamma_1=\frac{F}{ F - d }=4~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$

$$\Gamma_2=\frac{F}{(d+\Delta d)-F}=4$$

$$\Gamma_1=\Gamma_2$$

Подставим

$$  F- d = d+\Delta d-F$$

$$2F=2d+\Delta d$$

Из (1) следует, что

$$F-d=\frac{F}{4}$$

$$d=\frac{3}{4}F=0,15$$

Тогда

$$\Delta d=2F-2d=0,4-0,15\cdot 2$$

$$\Delta d=0,1$$

Ответ: переместили на 10 см.