Линейное увеличение линзы и задачи с графиками

Линейное увеличение линзы – величина всегда положительная.

$$\Gamma=\mid \frac{f}{d} \mid$$

Для рассеивающей линзы формула линзы такова:

$$-\frac{1}{F}=\frac{1}{d}-\frac{1}{f}$$

$$\frac{1}{F}=-\frac{1}{d}+\frac{1}{f}$$

$$\frac{1}{d}+\frac{1}{F}=\frac{1}{f}$$

$$\frac{F}{dF}+\frac{d}{dF}=\frac{1}{f}$$

$$f=\frac{dF}{F+d}$$

Ну а линейное увеличение тогда

$$\Gamma=\mid \frac{f}{d} \mid=\frac{F}{F+d}$$

Для собирающей линзы, если $d<F$, формула линзы

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d}-\frac{1}{f}$$

$$\frac{1}{F}-\frac{1}{d}=-\frac{1}{f}$$

$$\frac{1}{d}-\frac{1}{F}=\frac{1}{f}$$

$$\frac{F}{dF}-\frac{d}{dF}=\frac{1}{f}$$

$$f=\frac{dF}{F-d}$$

А линейное увеличение тогда

$$\Gamma=\mid \frac{f}{d} \mid=\frac{F}{F-d}$$

 

Для собирающей линзы, если $d>F$, формула линзы

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}$$

$$\frac{1}{F}-\frac{1}{d}=\frac{1}{f}$$

$$\frac{d}{dF}-\frac{F}{dF}=\frac{1}{f}$$

$$f=\frac{dF}{ d - F }$$

А линейное увеличение тогда

$$\Gamma=\mid \frac{f}{d} \mid=\frac{F}{ d - F }$$

Зависимость $\Gamma$ от $d$ для рассеивающей линзы:

График зависимости $\Gamma(d)$ для рассеивающей линзы

Для собирающей линзы:

График зависимости $\Gamma(d)$ для собирающей линзы

Как видно, графики нелинейны. С такими не всегда удобно работать. А ведь можно их сделать линейными! Надо тогда построить зависимость $\frac{1}{\Gamma}(d)$! Для рассеивающей линзы получим:

$$\frac{1}{\Gamma}(d)=\frac{d}{F}+1$$

Она будет иметь вид:

График зависимости $\frac{1}{\Gamma}(d)$ для рассеивающей линзы

А для собирающей –

График зависимости $\frac{1}{\Gamma}(d)$ для собирающей линзы

 

Решим несколько задач.

 

Задача 1.

Тонкая линза создает изображение предмета, находящегося в ее фокальной плоскости. Определите высоту предмета, если высота изображения 0,7 см.

 

Решение. Линза рассеивающая, иначе бы и изображения никакого не было бы. Значит,

$$\frac{1}{\Gamma}(d)=\frac{d}{F}+1=2$$

Рисунок к задаче 1

Откуда

$$d=F$$

Следовательно, $\Gamma=\frac{1}{2}$.

$$\Gamma=\frac{H}{h}=\frac{1}{2}$$

$$h=2H=1,4$$

Ответ: 1,4 см.

 

 

Задача 2.

Тонкую линзу, создающую действительное изображение предмета, передвинули на расстояние, равное $0,5F$. При этом получилось мнимое изображение предмета того же размера. Найти величину поперечного увеличения.

 

Решение. Линза создает действительное изображение – она собирающая. Значит, используем график $\frac{1}{\Gamma}(d)$ для собирающей линзы. Понятно, что сначала мы находились на его правом крыле. А потом переместились на левое. Но изображение-то того же размера! А значит, точка из которой перемещались и точка, в которую перемещались, расположены симметрично относительно линии $d=F$. А именно, отстоят от нее на $0,25F$.

Рисунок к задаче 2

То есть $d_1=1,25F$, и

$$\frac{1}{\Gamma}=\frac{d}{F}-1=\frac{1,25F}{F}-1=0,25$$

$$\Gamma=4$$

Ответ: 4.

 

Задача 3.

Тонкая линза с некоторым неизвестным фокусным расстоянием $F_1$ создает прямое изображение предмета, расположенного перпендикулярно главной оптической оси, с увеличением $\Gamma_1=\frac{2}{3}$. Каково будет увеличение $\Gamma_2$, если, не меняя расстояния между предметом и линзой, заменить эту линзу на другую, с фокусным раcстоянием $F_2=-F_1$?

 

Решение. Так как $\Gamma_1<1$, и изображение прямое, то линза рассеивающая, а меняем мы ее на собирающую.

Рисунок к задаче 3,а)

По графику устанавливаем, что величине $\frac{1}{\Gamma_1}=1,5$ соответствует $d_1=\frac{F}{2}$.

Меняем линзу – меняем и график. Теперь по $d_1$ устанавливаем $\Gamma_2$:

Рисунок к задаче 3,б)

$$\frac{1}{\Gamma_2}=0,5$$

$$\Gamma_2=2$$

Ответ: 2.