Геометрическая оптика: закон Снеллиуса - 1

В этой статье я будут представлены задачи на показатель преломления – самые простые, стартовые задачи в одно действие. Будем применять закон преломления Снеллиуса.

Задача 1.

 Определите показатель преломления скипидара и скорость распространения света в скипидаре, если известно, что при угле падения $45^{\circ}$ угол преломления равен $30^{\circ}$.

По закону преломления Снеллиуса

$$\frac{1}{n}=\frac{\sin{\beta }}{\sin{\alpha }} $$

$$n=\frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta }}=\frac{\sin{45^{\circ}}}{\sin{30^{\circ}}}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}=1,41$$

Чтобы найти скорость распространения света в скипидаре, надо воспользоваться формулой:

$$n=\frac{ c }{\upsilon }$$

Откуда

$$\upsilon=\frac{c}{n}=\frac{3\cdot10^8}{1,41}=2,13\cdot10^8$$

Ответ: $n=1,41$, $\upsilon=2,13\cdot10^8$ м/с.

Задача 2.

  Скорость распространения света в первой среде 225 000 км/с, а во второй -200 000 км/с. Луч света падает на поверхность раздела этих сред под углом $30^{\circ}$ и переходит во вторую среду. Определите угол преломления луча.

По закону преломления Снеллиуса

$$\frac{1}{n_1}=\frac{\upsilon_1 }{c}$$

$$\frac{1}{n_2}=\frac{\upsilon_2 }{c}$$

$$\frac{n_2}{n_1}=\frac{\sin{\beta }}{\sin{\alpha }}$$

$$\frac{\upsilon_1 }{\upsilon_2}=\frac{\sin{\beta }}{\sin{\alpha }}$$

$$\sin{\beta }=\frac{\upsilon_2 \sin{\alpha }}{\upsilon_1}=\frac{200000 \cdot\frac{1}{2}}{225000}=0,44$$

$$\beta=\arcsin{0,44}=26,4^{\circ}$$

Ответ: 26 градусов.

Задача 3.

 Скорость распространения света в некоторой жидкости равна 240 000 км/с. На поверхность этой жидкости из воздуха падает луч света под углом $25^{\circ}$. Определите угол преломления луча.

По закону преломления Снеллиуса

$$\frac{1}{n_1}=\frac{\upsilon_1 }{c}=\frac{\sin{\beta}}{\sin{\alpha}}$$

$$\sin{\beta }=\frac{\upsilon_1 \sin{\alpha}}{ c }=\frac{ 24\cdot10^7 \sin{25^{\circ}}}{3\cdot10^8}=0,338$$

$$\beta=\arcsin{0,338}=19,76^{\circ}$$

Ответ: $\beta=20^{\circ}$.

Задача 4.

 Луч света падает на поверхность раздела двух прозрачных сред под углом $35^{\circ}$ и преломляется под углом $25^{\circ}$. Чему равен угол преломления, если луч падает на эту границу раздела под углом $50^{\circ}$?

По закону преломления Снеллиуса

$$\frac{n_2}{n_1}=\frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta}}$$

Для другого угла падения

$$\frac{n_2}{n_1}=\frac{\sin{\gamma }}{\sin{\delta}}$$

Приравняем правые части

$$\frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta}}=\frac{\sin{\gamma }}{\sin{\delta}}$$
$$\frac{\sin{35^{\circ}}}{\sin{25^{\circ}}}=\frac{\sin{50^{\circ}}}{\sin{\delta}}$$
Откуда

$$\sin{\delta}=\frac{\sin{50^{\circ}}\sin{25^{\circ}}}{\sin{35^{\circ}}}=0,564$$

$$\delta=\arcsin{0,564}=34,36^{\circ}$$

Ответ: $\delta =34^{\circ}$.

Задача 5.

 Луч света переходит из глицерина в воду. Определите угол преломления луча, если угол падения равен $30^{\circ}$.

Показатель преломления глицерина равен 1,47, а воды 1,33.

По закону Снеллиуса

$$\frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta}}=\frac{n_v}{n_{gl}}$$

$$\frac{\sin{30^{\circ}}}{\sin{\beta}}=\frac{1,33}{1,47}$$

$$\beta=\arcsin{\frac{1,47\cdot\frac{1}{2}}{1,33}}=\arcsin{0,552}=33,5^{\circ}$$

Ответ: $\beta=35,5^{\circ}$.

Задача 6.

 Луч света при переходе из льда в воздух падает на поверхность льда под углом $15^{\circ}$. По какому направлению пойдет этот луч в воздухе?

По закону Снеллиуса

$$\frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta}}=\frac{1}{n_l}}$$

Показатель преломления льда равен 1,39.

$$\frac{\sin{15^{\circ}}}{\sin{\beta}}=\frac{1}{1,39}$$

$$\beta=\arcsin{1,31\cdot\sin{15^{\circ}}=\arcsin{0,34}=19,8^{\circ}$$

Ответ: $\beta=20^{\circ}$.

Задача 7.

 Определите угол падения луча в воздухе на поверхность воды, если угол между преломленным и отраженным от поверхности воды лучами равен $90^{\circ}$.

Для угла $AOB$ запишем

$$\gamma+90^{\circ}+\delta=180^{\circ}$$

$$\gamma+\delta=90^{\circ}$$

По закону преломления

$$\frac{\sin{\gamma}}{\sin{\delta}}=n$$

$$\frac{\sin{\gamma}}{\sin{90^{\circ}-\gamma}}=n$$

$$\frac{\sin{\gamma}}{\cos{\gamma}}=n$$

$$\operatorname{tg}{\gamma}=n$$

$$\gamma=\operatorname{arctg} {n}=53^{\circ}$$

Ответ: $53^{\circ}$.

Задача 8.

  Определите угол преломления луча при переходе из воздуха в этиловый спирт, если угол между падающим и преломленным лучами равен $120^{\circ}$.

Угол $AOB$ равен по условию $120^{\circ}$. Запишем этот угол как сумму других углов:

$$(90^{\circ}-\alpha)+\beta+90^{\circ}=120^{\circ}$$
$$\alpha-\beta=60^{\circ}$$

По закону преломления

$$\frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta}}=n$$

$$\frac{\sin{\alpha}}{\sin{\alpha-60^{\circ}}}=n$$

$$\sin{\alpha}=n(\sin{\alpha}\cos60^{\circ}-\cos{\alpha}\sin60^{\circ})$$

$$\sin{\alpha}(1-\frac{n}{2})=\cos{\alpha}\sin60^{\circ})$$

$$\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{2\sin60^{\circ}}{2-n}$$

$$\alpha=\operatorname{arctg}{\frac{2\sin60^{\circ}}{2-n}}=\operatorname{arctg}{\frac{\sqrt{3}}{2-1,35}=69,4^{\circ}$$

Ответ: $\alpha=69^{\circ}$