Геометрическая оптика: тень

Этой статьей я открываю серию статей по геометрической оптике. Все, что нам понадобится – это знания по элементарной тригонометрии: геометрические определения синуса, косинуса, тангенса угла и понятие о подобии треугольников.

Задача 1.

Ученик заметил, что палка длиной 1,2 м, поставленная вертикально, отбрасывает тень длиной 0,8 м. Длина тени от дерева в то же время оказалась ровно в 12 раз больше длины палки. Какова высота дерева?

Так как лучи света мы считаем прямолинейными, то задача сводится к подобию треугольников и определению сходственных сторон.

Тогда для подобных треугольников $ABC$ и $DEF$ запишем отношение сходственных сторон:

$$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}$$

Определяем $DE$:

$$DE=\frac{AB\cdotDF}{AC}=\frac{AB\cdot12AB}{AC}=\frac{1,2^2\cdot12}{0,8}=21,6$$
Ответ: высота дерева 21,6 м.

Задача 2.

 Уличный фонарь висит на высоте 4 м. Какой длины тень отбросит палка высотой 1 м, если ее установить вертикально на расстоянии 3 м от основания столба, на котором укреплен фонарь?

Запишем отношение сходственных сторон для треугольников $KPO$ и $MNO$:

$$\frac{KP}{MN}=\frac{PO}{NO}$$

$$\frac{4}{1}=\frac{3+x}{x}$$

$$3+x=4x$$

$$x=1$$

Ответ: 1 м.

Задача 3.

Уличный фонарь висит на высоте 3 м от поверхности земли. Тень от палки длиной $1,2$  м, установленной вертикально на некотором расстоянии от столба в точке А, равна 0,8 м. Когда палку переместили в другую точку В, длина тени оказалась равной 1,2 м. Каково расстояние между точками А и В? Известно, что основание столба и точки А и В лежат на одной прямой.

Сначала рассмотрим первую ситуацию.

Запишем отношение сходственных сторон для треугольников $KPO$ и $MAO$:

$$\frac{KP}{MA}=\frac{PO}{AO}$$

$$\frac{3}{1,2}=\frac{AO+0,8}{0,8}$$

$$AO+0,8=\frac{3\cdot0,8}{1,2}=2$$

$$AO=1,2$$

Теперь все то же для второго состояния, когда палку передвинули.

Запишем отношение сходственных сторон для треугольников $KPO$ и $MBO$:

$$\frac{KP}{MB}=\frac{PO}{BO}$$

$$\frac{3}{1,2}=\frac{BO+1,2}{1,2}$$

$$BO+1,2=\frac{3\cdot1,2}{1,2}=3$$

$$BO=1,8$$

Расстояние между точками $A$ и $B$ равно $BO-AO=1,8-1,2=0,6$

Ответ: 0,6 м.

Задача 4.

На какой высоте висит уличный фонарь, если тень от вертикально установленной палки высотой 0,9 м имеет длину 1,2 м и при перемещении палки на 1 м от фонаря вдоль направления тени длина тени увеличилась до 1‚5 м?

Задача аналогична предыдущей. Составим отношение сходственных сторон

для треугольников $KPO$ и $MAO$:

$$\frac{KP}{MA}=\frac{PO}{AO}$$

$$\frac{H}{0,9}=\frac{PA+1,2}{1,2}$$

Запишем отношение сходственных сторон для треугольников $KPO$ и $MBO$:

$$\frac{KP}{MB}=\frac{PA+1+BO}{BO}$$

$$\frac{H}{0,9}=\frac{PA+1+1,5}{1,5}$$

Приравняем правые части:

$$\frac{PA+1,2}{1,2}=\frac{PA+1+1,5}{1,5}$$

$$ (PA+1,2)1,5=1,2(PA+2,5)$$

$$1,5PA-1,2PA=1,2(2,5-1,5)$$

$$0,3PA=1,2$$

$$PA=4$$

Тогда высота подвеса фонаря равна

$$H=\frac{0,9(PA+1,2)}{1,2}=3,9$$

Ответ: 3,9 м

Задача 5.

 На какой высоте $H$ находится аэростат, если с башни высотой $h$ он виден под углом $\alpha$ над горизонтом, его изображение в озере видно под углом $\beta$ под горизонтом?

От изображения аэростата до поверхности воды такое же расстояние, как и от аэростата до воды.

Тогда $2H=QL+LZ$

Из треугольника $LQT$

$$\frac{QL}{LT}=\operatorname{tg}{\alpha}$$

$$LT=\frac{QL}{\operatorname{tg}{\alpha}}$$

А из треугольника $LZT$

$$\frac{ZL}{LT}=\operatorname{tg}{\beta}$$

$$ LT=\frac{ZL}{\operatorname{tg}{\beta}}$$

Приравняем правые части:

$$\frac{QL}{\operatorname{tg}{\alpha}}=\frac{ZL}{\operatorname{tg}{\beta}}$$

$$ZL=\frac{QL\operatorname{tg}{\beta}}{\operatorname{tg}{\alpha}}$$

Тогда

$$2H=QL+\frac{QL\operatorname{tg}{\beta}}{\operatorname{tg}{\alpha}}=QL\left(1+\frac{\operatorname{tg}{\beta}}{\operatorname{tg}{\alpha}}\right)= (H-h)\left(1+\frac{\operatorname{tg}{\beta}}{\operatorname{tg}{\alpha}}\right)$$

$$H=\frac{(H-h)}{2}\left(1+\frac{\operatorname{tg}{\beta}}{\operatorname{tg}{\alpha}}\right)$$

$$H=\frac{H}{2}\left(1+\frac{\operatorname{tg}{\beta}}{\operatorname{tg}{\alpha}}\right)-\frac{h}{2}\left(1+\frac{\operatorname{tg}{\beta}}{\operatorname{tg}{\alpha}}\right)$$

$$\frac{H}{2}\left(\frac{\operatorname{tg}{\beta}}{\operatorname{tg}{\alpha}}-1\right)=\frac{h}{2}\left(1+\frac{\operatorname{tg}{\beta}}{\operatorname{tg}{\alpha}}\right)$$

$$H=h\cdot \frac{\operatorname{tg}{\beta}+\operatorname{tg}{\alpha}}{\operatorname{tg}{\alpha}}\cdot \frac{\operatorname{tg}{\alpha}}{\operatorname{tg}{\beta}-\operatorname{tg}{\alpha}}$$

$$H=h \cdot \frac{\operatorname{tg}{\beta}+\operatorname{tg}{\alpha}}{\operatorname{tg}{\beta}-\operatorname{tg}{\alpha}}$$

Ответ: $H=h\cdot \frac{\operatorname{tg}{\beta}+\operatorname{tg}{\alpha}}{\operatorname{tg}{\beta}-\operatorname{tg}{\alpha}}$