Геометрическая оптика: пластинки

В этой статье решаем задачи с пластинками – средние по сложности. Будем применять закон преломления Снеллиуса, а также геометрические знания.

Задача 1.   Прямоугольная стеклянная пластинка толщиной 4 см имеет показатель преломления 1,6. На ее поверхность падает луч света под углом $55^{\circ}$. Определите, на сколько сместится луч после выхода из пластинки в воздух.

По закону Снеллиуса

$$\frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta}}=n$$

$$\sin{\beta}=\frac{\sin{\alpha}}{n}$$

Из рисунка

$$\frac{x}{h}=\operatorname{tg}{\beta}=\operatorname{tg}{\arcsin{\frac{\sin{\alpha}}{n}}}=\operatorname{tg}{\arcsin{\frac{\sin{55^{\circ}}}{1,6}}}=0,6$$

$$x=0,6\cdot4=2,4$$

Ответ: 2,4 см.

Задача 2.

  Луч света падает под углом $30^{\circ}$ на плоскопараллельную стеклянную пластинку и выходит из нее параллельно первоначальному лучу. Показатель преломления стекла равен 1,5. Какова толщина пластинки, если расстояние между лучами равно 1,94 см?

По закону Снеллиуса

$$\frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta}}=n$$

$$\sin{\beta}=\frac{\sin{\alpha}}{n}$$

$$\sin{\beta}=\frac{0,5}{1,5}=0,33$$

$$\beta=19,5^{\circ}$$

Из рисунка

$$\frac{x}{h}=\operatorname{tg}{\beta}=\operatorname{tg}{\arcsin{\frac{\sin{\alpha}}{n}}}=\operatorname{tg}{\arcsin{\frac{\sin{30^{\circ}}}{1,5}}}=0,35$$

Откуда

$$x=0,35h$$

По теореме Пифагора

$$m=\sqrt{x^2+h^2}$$

$$\frac{l}{m}=\sin(\alpha-\beta)$$

$$m=\frac{l}{\sin(\alpha-\beta)}$$

$$\sqrt{x^2+h^2}=\frac{l}{\sin(\alpha-\beta)}$$

$$h^2+0,35^2h^2=\frac{l^2}{\sin^2(\alpha-\beta)}$$

$$h^2=\frac{l^2}{\sin^2(\alpha-\beta)\cdot(1+0,35^2)}$$

$$h=\frac{l}{\sin(\alpha-\beta)}\sqrt{\frac{1}{\cdot(1+0,35^2)}}= \frac{1,94}{\sin(30^{\circ}-19,5^{\circ})}\sqrt{\frac{1}{1+0,35^2}}=10$$

Ответ: 10 см.

Задача 3.

  Узкий параллельный пучок света падает на плоскопараллельную стеклянную пластинку под углом $\alpha$, синус которого равен 0,8. Вышедший из пластинки пучок оказался смещенным относительно продолжения падающего пучка на расстояние 2 см. Какова толщина пластинки, если показатель преломления стекла равен 1,7?

Задача аналогична предыдущей, только данные чуть-чуть иные, поэтому просто подставим их в готовую формулу:

По закону Снеллиуса

$$\frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta}}=n$$

$$\sin{\beta}=\frac{\sin{\alpha}}{n}$$

$$\sin{\beta}=\frac{0,8}{1,7}=0,47$$

$$\beta=28^{\circ}$$

$$\alpha=\arcsin{0,8}=53^{\circ}$$

Из рисунка

$$\frac{x}{h}=\operatorname{tg}{\beta}=\operatorname{tg}{\arcsin{\frac{\sin{\alpha}}{n}}}=\operatorname{tg}{\arcsin{\frac{0,8}{1,5}}}=0, 53$$

Откуда

$$x=0, 53h$$

По теореме Пифагора

$$m=\sqrt{x^2+h^2}$$

$$\frac{l}{m}=\sin(\alpha-\beta)$$

$$m=\frac{l}{\sin(\alpha-\beta)}$$

$$\sqrt{x^2+h^2}=\frac{l}{\sin(\alpha-\beta)}$$

$$h^2+0, 53^2h^2=\frac{l^2}{\sin^2(\alpha-\beta)}$$

$$h^2=\frac{l^2}{\sin^2(\alpha-\beta)\cdot(1+0, 53^2)}$$

$$h=\frac{l}{\sin(\alpha-\beta)}\sqrt{\frac{1}{\cdot(1+0,35^2)}}= \frac{2}{\sin(53^{\circ}-28^{\circ})}\sqrt{\frac{1}{1+0, 53^2}}=4,73$$

Ответ: 4,73 см.

Задача 4.

  Имеются две плоскопараллельные пластинки толщиной 16 и 24 мм, сложенные вплотную. Первая сделана из кронгласа с показателем преломления 1,5, а вторая - из флинтгласа с показателем преломления 1,8. На поверхность одной из них падает луч света под углом $48^{\circ}$. Определите, на сколько сместится этот луч после выхода из пластинок в воздух. Зависит ли полученный результат от того, в какой последовательности свет проходит пластинки?

Порядок установки пластинок неважен: это показано на рисунке.

$$a=c \sin (\alpha-\beta)$$

$$b=d\sin(\alpha-\gamma)$$

$$a=\frac{h_1}{ \cos {\beta}}\sin (\alpha-\beta)$$

$$b=\frac{h_2}{\cos {\gamma}}\sin(\alpha-\gamma)$$

По закону Снеллиуса

$$\frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta}}=n_1$$

$$\sin{\beta}=\frac{\sin{\alpha}}{n_1}$$

$$\beta=30^{\circ}$$

$$\frac{\sin{\beta}}{\sin{\gamma}}=\frac{n_2}{n_1}$$

$$\sin{\gamma}=\frac{n_1\sin{\beta}}{n_2}$$

$$\gamma=24^{\circ}$$

Тогда

$$a=\frac{h_1}{ \cos {\beta}}\sin (\alpha-\beta)=\frac{ 16}{ \cos {30^{\circ}}}\sin (18^{\circ})=5,7$$

$$b= \frac{h_2}{\cos {\gamma}}\sin(\alpha-\gamma)=\frac{24}{\cos {24^{\circ}}}\sin(24^{\circ})=10,68$$

$$a+b=5,7+10,68=16,38$$

Ответ: 16,38 мм.

Задача 5.  На плоскопараллельную стеклянную пластинку толщиной 1 см падает луч света под углом $60^{\circ}$. Показатель преломления стекла равен 1,73. Часть света отражается, а часть, преломляясь, проходит в стекло, отражается от нижней поверхности пластинки и, преломляясь вторично, выходит в воздух параллельно первому отраженному лучу. Найдите расстояние между отраженными лучами.

 

В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $30^{\circ}$. В этом треугольнике нам нужно найти $BC$, а его гипотенуза:

$$2x=AC$$

$$\sin{30^{\circ}}=\frac{BC}{AC}$$

$$BC=AC\sin{30^{\circ}}=2x\cdot\sin{30^{\circ}}=x$$

$$\operatorname{tg}{\beta}=\frac{x}{h}$$

$$x=h \operatorname{tg}{\beta}$$

По закону Снеллиуса

$$\frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta}}=n$$

$$\sin{\beta}=\frac{\sin{\alpha}}{n}$$

$$x=h \operatorname{tg}{\arcsin{\frac{\sin{\alpha}}{n}}}=1\cdot\operatorname{tg}{\arcsin{\frac{\sin{60^{\circ}}}{1,73}}}$$

Ответ: $x=0,58$ см.

Задача 6.  Плоскопараллельная пластинка толщиной 5 см посеребрена с нижней стороны. Луч падает на верхнюю поверхность пластинки под углом $30^{\circ}$, частично отражается, а часть света проходит в пластинку, отражается от нижней ее поверхности и, преломляясь вторично, выходит в воздух параллельно первому отраженному лучу. Определите показатель преломления материала пластинки, если расстояние между двумя отраженными лучами 2,5 см.

В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $60^{\circ}$. В этом треугольнике нам известен катет $BC=2,5$ см, что позволяет нам найти гипотенузу:

$$2x=AC=\frac{BC}{\sin{60^{\circ}}}$$

$$x=\frac{BC}{2\sin{60^{\circ}}}$$

$$\operatorname{tg}{\beta}=\frac{x}{h}=\frac{BC}{2h\sin{60^{\circ}}}$$

По закону Снеллиуса

$$\frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta}}=n$$

$$n=\frac{\sin{\alpha}}{\sin{\operatorname{arctg}{\frac{BC}{2h\sin{60^{\circ}}}}}}=\frac{0,5}{\sin{\operatorname{arctg}{\frac{2,5}{2\cdot5\sin{60^{\circ}}}}}}=1,8$$

Ответ: $n=1,8$