Фотоаппараты - 3

Задача 1.

При фотографировании очень далеких предметов расстояние между объективом фотоаппарата и пленкой $l=50$ мм. С какого минимального расстояния $d_{min}$ можно фотографировать этим аппаратом, если ход объектива $x=2$ мм?

Решение. Предположим, что сначала фотографируются предметы, находящиеся практически на бесконечности: $d_1=\infty$:

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{\infty}+\frac{1}{f}$$

Потом расстояние до пленки увеличивают, чтобы сфотографировать близкий предмет:

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{ d_{min}}+\frac{1}{f+x}$$

Тогда, приравнивая правые части, получим:

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{ d_{min}}+\frac{1}{f+x}$$

$$\frac{1}{ d_{min}}=\frac{1}{f}-\frac{1}{f+x}=\frac{f+x-f}{f(f+x)}$$

Откуда

$$ d_{min}=\frac{f(f+x)}{x}=\frac{l(l+x)}{x}=\frac{50\cdot52}{2}=1300$$

Ответ: $ d_{min}=1,3$ м.

 

Задача 2.

В каких пределах должен перемещаться объектив фотоаппарата (расстояние от пленки до объектива) с фокусным расстоянием $F=10$ см, чтобы обеспечить наводку на резкость в пределах от $d=1$ м до бесконечности? Чему равен ход объектива?

Решение. Запишем для обоих расстояний $d$ формулу линзы:

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{ d_{min}}+\frac{1}{f_1}$$

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{ d_{max}}+\frac{1}{f_2}$$

Приравниваем правые части:

$$\frac{1}{ d_{min}}+\frac{1}{f_1}=\frac{1}{ d_{max}}+\frac{1}{f_2}$$

С учетом, что

$$\frac{1}{ d_{max}}=\frac{1}{\infty}=0$$

Имеем

$$\frac{1}{ d_{min}}+\frac{1}{f_1}=\frac{1}{f_2}$$

$$\frac{1}{ d_{min}}=\frac{1}{f_2}-\frac{1}{f_1}=\frac{f_1-f_2}{f_1f_2}$$

Или

$$f_1-f_2=\frac{ f_1f_2}{ d_{min}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$

Так как уравнение линзы для большого расстояния $ d_{max}$ может быть записано как

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{f_2}$$

И, следовательно, $F=f_2$.

Преобразуем также и второе уравнение:

$$\frac{1}{f_1}=\frac{1}{F}-\frac{1}{ d_{min}}=\frac{ d_{min}-F}{F d_{min}}$$

$$f_1=\frac{F d_{min}}{ d_{min}-F}$$

Подставим в (1)

$$f_1-f_2=\frac{ F}{ d_{min}}\cdot\frac{F d_{min}}{ d_{min}-F}=\frac{F^2}{ d_{min}-F }$$

Таким образом, ход объектива равен

$$\Delta f= f_1-f_2= \frac{F^2}{ d_{min}-F }=\frac{0,01}{1-0,1}=0,011$$

Ответ: 11 мм

 

Задача 3.

С самолета, летящего на высоте $h_1=2000$ м, производится фотографирование местности с помощью фотоаппарата с фокусным расстоянием $F=50$ см. Каков размер изображения на пленке? Какая фотографируемая площадь охватывается одним кадром размером $18\times 18$ см$^2$? Как изменится ответ, если самолет снизится до высоты $h_2=1000$ м?

Решение. Запишем формулу линзы:

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{ h_1}+\frac{1}{f}$$

Имеем:

$$\frac{1}{0,5}=\frac{1}{ 2000}+\frac{1}{f}$$

Откуда

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{0,5}-\frac{1}{ 2000}=2-0,0005$$

Можно пренебречь вычитаемым и считать, что изображение в фокусе. Тогда

$$\Gamma_1=\frac{f}{h_1}=\frac{F}{h_1}=\frac{0,5}{2000}=0,00025$$

Поэтому, если размер кадра $l=18$ см, то размер фотографируемой местности

$$X_1=\frac{l}{\Gamma_1}=\frac{0,18}{0,00025}=720$$

То есть в кадр помещается площадь

$$S_1=720\cdot 720=518400$$

квадратных метров, или $0,5184$ км$^2$.

Если высоту полета изменить, то

$$\Gamma_2=\frac{f}{h_2}=\frac{F}{h_2}=\frac{0,5}{1000}=0,0005$$

Поэтому, если размер кадра $l=18$ см, то размер фотографируемой местности

$$X_2=\frac{l}{\Gamma_2}=\frac{0,18}{0,0005}=360$$

То есть в кадр помещается площадь

$$S_2=360\cdot 360=129600$$

квадратных метров, или $0,1296$ км$^2$.

Ответ: при высоте полета $h_1$ площадь фотографируемой местности $0,5184$ км$^2$, при высоте полета $h_2$ площадь фотографируемой местности $0,1296$ км$^2$.

 

Задача 4.

Из-за конечной разрешающей способности пленки при фотографировании достаточно резко получаются предметы, находящиеся от фотоаппарата на расстояниях от $d_1=7,5$ м до $d_2=15$ м (ближняя и дальняя границы глубины резкости). На каком расстоянии $d_0$ находится предмет, на который наведен объектив фотоаппарата?

Решение. Давайте сделаем рисунок, и запишем затем два уравнения линзы – для обоих случаев расположения предмета.

Рисунок к задаче 4. Рыжие и синие лучи дают одинаковых размеров изображение.

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{ d_1}+\frac{1}{f_1}$$

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{ d_2}+\frac{1}{f_2}$$

Перепишем так:

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{ d_1}+\frac{1}{f+\Delta x}$$

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{ d_2}+\frac{1}{f-\Delta x}$$

Понятно, что в каждом случае величина $\Delta x$ своя, но она столь мала, что можно считать, что в обоих случаях изображение отстоит от фокуса на одну и ту же величину.

Еще раз перепишем:

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{ d_1}+\frac{1}{f}\cdot \frac{1}{1+\frac{\Delta x }{f} }$$

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{ d_2}+\frac{1}{f}\cdot\frac{1}{1-\frac{\Delta x }{f}}$$

Здесь мы сделаем «финт ушами». Поскольку для малых величин справедливо

$$\frac{1}{1+x}\approx 1-x$$

То, применяя это правило для малой величины $\frac{\Delta x }{f}$, получим:

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{ d_1}+\frac{1}{f}\cdot\left(1-\frac{\Delta x }{f}\right)$$

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{ d_2}+\frac{1}{f}\cdot\left(1+\frac{\Delta x }{f}\right)$$

Подключаем уравнение для расстояния, на котором находится предмет и на которое нацелен объектив:

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{ d_0}+\frac{1}{f}$$

Тогда

$$\frac{1}{ d_0}+\frac{1}{f}=\frac{1}{ d_1}+\frac{1}{f}\cdot\left(1-\frac{\Delta x }{f}\right)$$

$$\frac{1}{ d_0}+\frac{1}{f}=\frac{1}{ d_2}+\frac{1}{f}\cdot\left(1+\frac{\Delta x }{f}\right)$$

Упростим немного:

$$\frac{1}{ d_0}=\frac{1}{ d_1}-\frac{1}{f}\cdot\frac{\Delta x }{f}$$

$$\frac{1}{ d_0}=\frac{1}{ d_2}+\frac{1}{f}\cdot\frac{\Delta x }{f}$$

И теперь последние два складываем:

$$\frac{2}{ d_0}=\frac{1}{ d_1}+\frac{1}{ d_2}$$

$$\frac{2}{ d_0}=\frac{d_1+d_2}{ d_1d_2}$$

$$d_0=\frac{ 2d_1d_2}{d_1+d_2}=\frac{2\cdot7,5\cdot 15}{7,5+15}=10$$

Ответ: 10 м.