Фотоаппараты - 2

Задача 1.

Поверхность земли фотографируют со спутника, запущенного на высоту 100 км. Объектив фотокамеры имеет фокусное расстояние 10 см. Минимальный размер видимых деталей на пленке (разрешающая способность пленки)  - $\delta =10^{-2}$ мм. Определите: а) минимальные размеры предметов на Земле, которые будут видны на пленке; б) время экспозиции, при котором орбитальное движение спутника не влияет на качество изображения.

Решение. Запишем формулу линзы, ведь объектив – собирающая линза:

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}$$

$$\frac{1}{d}=\frac{1}{F}-\frac{1}{f}=\frac{1}{0,1}-\frac{1}{100000}=10-0,00001$$

Можно пренебречь вычитаемым, ведь оно мало по сравнению с уменьшаемым, и считать, что $d=0,1$ м. Тогда увеличение линзы

$$\Gamma=\frac{f}{d}=\frac{100000}{0,1}=10^6$$

С другой стороны, увеличение – это отношение размеров предмета к размерам изображения, в данном случае, и

$$\Gamma=\frac{H}{\delta}$$

$$H=\Gamma h=10^6\cdot 10^{-5}=10$$

Таким образом, минимальный размер предмета – 10 м.

Спутник движется по орбите с первой космической скоростью – 8000 м/с. Значит, изображение на пленке смещается со скоростью, в $\Gamma$ раз меньшей. Оно сместится на расстояние $\delta$ за время

$$t=\frac{\delta \cdot \Gamma}{\upsilon}=\frac{10^{-5}\cdot 10^6}{8000}=\frac{1}{800}=0,00125$$

Ответ: а) 10 м; б) 1,25 мс.

Задача 2.

Требуется сфотографировать конькобежца, пробегающего мимо фотоаппарата со скоростью 10 м/с. Определите максимально допустимую экспозицию при условии, что размытость изображения не должна превышать 0,2 мм.  Главное фокусное расстояние объектива фотоаппарата 10 см, расстояние до конькобежца 5 м. В момент фотографирования оптическая ось объектива фотоаппарата перпендикулярна траектории движения конькобежца.

Решение. Запишем формулу линзы, ведь объектив – собирающая линза:

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}$$

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{F}-\frac{1}{d}=\frac{1}{0,1}-\frac{1}{5}=10-0,2=9,8$$

Определим увеличение объектива:

$$\Gamma=\frac{f}{d}=\frac{1}{9,8\cdot5}=\frac{1}{49}$$

Скорость спортсмена 10 м/с, скорость изображения на пленке будет в 49 раз меньше. Поэтому изображение сместится на 0,2 мм за время:

$$t=\frac{\delta}{\upsilon\Gamma}=\frac{0,2\cdot 10^{-3}}{10\cdot\frac{1}{49}}=10^{-3}$$

Ответ: 1 мс.

Задача 3.

Какое время может быть открыт затвор фотоаппарата при съемке прыжка в воду с вышки? Фотографируется момент погружения в воду. Высота вышки 5 м. Фотограф стоит в лодке на расстоянии 10 м от места погружения прыгуна. Объектив фотоаппарата имеет фокусное расстояние 10 см. На негативе допустимо размытие изображения 0,5 мм.

Решение. Запишем формулу линзы, ведь объектив – собирающая линза:

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}$$

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{F}-\frac{1}{d}=\frac{1}{0,1}-\frac{1}{10}=10-0,1=9,9$$

Определим увеличение объектива:

$$\Gamma=\frac{f}{d}=\frac{1}{9,9\cdot 10}=\frac{1}{99}$$

Определим скорость прыгуна. Он падает с 5-метровой высоты, значит, 1 секунду. Скорость будет $\upsilon=gt=10$ м/с.

Скорость спортсмена 10 м/с, скорость изображения на пленке будет в 99 раз меньше. Поэтому изображение сместится на 0,5 мм за время:

$$t=\frac{\delta}{\upsilon\Gamma}=\frac{0,5\cdot 10^{-3}}{10\cdot\frac{1}{99}}=4,95\cdot 10^{-3}$$

Ответ: 4,95 мс.

Задача 4.

Фотоаппарат сфокусирован на бесконечность. На каком минимальном расстоянии $d$ от объектива должен находиться предмет для того, чтобы его изображение на пленке было резким? Изображение считается резким, если размытие его деталей не превышает $\delta=0,1$ мм. Фокусное расстояние объектива 50 мм, его диаметр – 25 мм.

Решение. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $CDF$. Они подобны.

Рисунок к задаче 4

Отношение сходственных сторон для них следующее:

$$\frac{DF}{AB}=\frac{f-F}{f}$$

Или

$$\frac{\delta}{D}=\frac{f-F}{f}=1-\frac{F}{f}$$

Запишем формулу линзы, ведь объектив – собирающая линза:

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}$$

Домножаем на $F$:

$$1=\frac{F}{d}+\frac{F}{f}$$

Тогда

$$1-\frac{F}{f}=\frac{F}{d}$$

Эту величину мы и подставим в полученное ранее отношение сходственных сторон для треугольников:

$$\frac{\delta}{D}=\frac{F}{d}$$

Откуда

$$d=\frac{FD}{\delta}=\frac{50\cdot 10^{-3}\cdot 25\cdot 10^{-3}}{10^{-4}}=12,5$$

Ответ: 12,5 м.