Фотоаппараты - 1

Задача 1.

Рисунок на диапозитиве имеет высоту 2 см, а на экране – 80 см. Определите оптическую силу объектива, если расстояние от объектива до диапозитива равно 20,5 см.

Решение. Объектив – собирающая линза. По одну ее сторону предмет (диапозитив), по другую – экран.  Формула собирающей линзы –

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}$$

У нас $\frac{f}{d}=\frac{H}{h}=\frac{80}{2}=40$, где $H$ - размер изображения на экране, $h$ - размер диапозитива, то есть предмета.

Рисунок к задаче 1 (а также и ко всем остальным)

Тогда

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{0,205}+\frac{1}{40\cdot 0,205}=\frac{40}{40\cdot 0,205}+\frac{1}{40\cdot 0,205}$$

$$\frac{1}{F}=\frac{41}{40\cdot 0,205}=5$$

$$F=0,2$$

Ответ: фокусное расстояние 20 см.

 

Задача 2.

Главное фокусное расстояние объектива проекционного фонаря 15 см. Диапозитив находится на расстоянии 15,6 см от объектива. Какое линейное увеличение дает фонарь (рисунок к предыдущей задаче)?

Решение. Определим $f$ из формулы линзы:

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}$$

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{F}-\frac{1}{d}=\frac{1}{0,15}-\frac{1}{0,156}=\frac{0,156-0,15}{0,15\cdot 0,156}$$

$$\frac{1}{f}=\frac{0,006}{0,15\cdot 0,156}$$

$$f=3,9$$

Определяем увеличение:

$$\Gamma=\frac{H}{h}=\frac{f}{d}=\frac{3,9}{0,156}=25$$

Ответ: $\Gamma=25$.

Задача 3.

Определите оптическую силу объектива проекционного фонаря, если он дает 25-кратное увеличение, когда диапозитив помещен на расстояние 20,8 см от объектива.

Решение. Так как $\Gamma=25$, то

$$\Gamma=\frac{H}{h}=\frac{f}{d}=25$$

То есть $f=25d$. Тогда подставим это в формулу собирающей линзы

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}$$

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{25d}=\frac{25}{25d}+\frac{1}{25d}=\frac{26}{25d}$$

Откуда определяем фокусное:

$$F=\frac{25d}{26}=\frac{25\cdot 20,8}{26}=20$$

А оптическая сила (не забываем переводить сантиметры в метры)

$$D=\frac{1}{F}=\frac{1}{0,2}=5$$

Ответ: 5 дптр.

 

Задача 4.

Объектив проекционного аппарата имеет оптическую силу 5,4 дптр. Экран расположен на расстоянии 4 м от объектива. Определите размеры экрана, на котором должно уместиться изображение диапозитива размером $6\times 9 $ см$^2$.

Решение. Здесь дано $f$, $f=4$ м. Также известна оптическая сила,  фокусное расстояние и не надо искать:

$$D=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}$$

$$5,4=\frac{1}{d}+\frac{1}{4}$$

Откуда

$$\frac{1}{d}=5,4-0,25=5,15$$

$$d=0,194$$

Определяем увеличение:

$$\Gamma=\frac{H}{h}=\frac{f}{d}=\frac{4}{0,194}=20,6$$

Таким образом, и высота диапозитива, и его длина должны на экране быть в 20,6 раза больше исходных: вместо 6 см - $6\cdot 20,6=123,6$, вместо 9 см - $9\cdot 20,6=185,4$. Размер экрана, следовательно, 124 на 186 см.

Ответ: $124\times 186$ см$^2$.

 

Задача 5.

Изображение предмета на матовом стекле фотоаппарата с расстояния 15 м получилось высотой 30 мм, а с расстояния 9 м – высотой 51 мм. Найдите фокусное расстояние объектива.

Решение. Запишем две формулы линзы для обоих случаев получения изображения:

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d_1}+\frac{1}{f_1}\ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d_2}+\frac{1}{f_2}\ \ \ \ \ \ \ \ (2)$$

Кроме того,

$$\Gamma_1=\frac{f_1}{d_1}=\frac{H_1}{h}=\frac{0,03}{h}$$

Откуда $f_1=\frac{0,03\cdot d_1}{h}\ \ \ \ \ \ \ \ (3)$

$$\Gamma_2=\frac{f_2}{d_2}=\frac{H_2}{h}=\frac{0,051}{h}$$

Откуда $f_2=\frac{0,051\cdot d_2}{h}\ \ \ \ \ \ \ \ (4)$

Приравниваем правые части (1) и (2):

$$\frac{1}{d_1}+\frac{1}{f_1}=\frac{1}{d_2}+\frac{1}{f_2}$$

Подставляем (3) и (4):

$$\frac{1}{d_1}+\frac{h}{0,03d_1}=\frac{1}{d_2}+\frac{h}{0,051d_2}$$

$$\frac{h}{0,03d_1}-\frac{h}{0,051d_2}=\frac{1}{d_2}-\frac{1}{d_1}$$

Подставим $d_1=15$ и $d_2=9$:

$$\frac{h}{0,03\cdot 15}-\frac{h}{0,051\cdot 9}=\frac{1}{9}-\frac{1}{15}$$

Решение этого простейшего линейного уравнения дает $h=1,02$ м.

Следовательно,

$$f_1=\frac{0,03\cdot 15}{1,02}=0,44$$

И все подставляем в (1):

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{1,02}+\frac{1}{0,44}$$

Получаем:

$$F=0,428$$

Ответ: $F=0,43$ м.