Формула линзы - две практические задачи

Задача 1.

Оптическая сила объектива фотоаппарата равна 5 дптр. При фотографировании чертежа с расстояния 1 м площадь изображения чертежа на фотопластинке оказалась равной 4 см$^2$. Площадь самого чертежа равна…

Решение: запишем формулу линзы:

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}$$

Так как $D=5$, то $F=20$ см, а $d=5F$:

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{5F}+\frac{1}{f}$$

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{F}-\frac{1}{5F}=\frac{4}{5F}$$

$$f=1,25F$$

Отношение размеров изображения и чертежа

$$\frac{S_{chert}}{S_{izobr}}=\left(\frac{d}{f}\right)^2=\left(\frac{100}{25}\right)^2=16$$

$$ S_{chert}=16 S_{izobr}=64$$

Ответ: 64 см$^2$.

Задача 2.

Свеча находится на расстоянии $l=3,75$ м от экрана. Между свечой и экраном помещают собирающую линзу, которая дает на экране четкое изображение свечи при двух положениях линзы. Найти фокусное расстояние линзы $F$, если расстояние между положениями линзы $b =0,75$ м.

Решение. Если «честно» считать по формуле линзы, то

$$d_1+f_1=3,75=d_2+f_2$$

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d_1}+\frac{1}{f_1}$$

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d_2}+\frac{1}{f_2}$$

Правые части равны:

$$\frac{1}{d_1}+\frac{1}{f_1}=\frac{1}{d_2}+\frac{1}{f_2}$$

$$\frac{1}{d_1}+\frac{1}{3,75-d_1}=\frac{1}{d_2}+\frac{1}{3,75-d_2}$$

Но, так как расстояние между положениями линзы $b =0,75$ м, то

$$d_2=d_1+0,75$$

Подставим:

$$\frac{1}{d_1}+\frac{1}{3,75-d_1}=\frac{1}{d_1+0,75}+\frac{1}{3-d_1}$$

$$\frac{3,75}{(3,75-d_1)d_1}=\frac{3,75}{(d_1+0,75)( 3-d_1)}$$

Если у равных дробей один числитель, то и знаменатели равны:

$$(3,75-d_1)d_1=(d_1+0,75)( 3-d_1)$$

$$3,75d_1=2,25d_1+2,25$$

$$1,5d_1=2,25$$

$$ d_1=1,5$$

$$f_1=2,25$$

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{d_1}+\frac{1}{f_1}=\frac{2}{3}+\frac{4}{9}=\frac{10}{9}$$

Откуда $F=0,9$.

А теперь «хакерское» решение. Так как оба положения линзы симметричны относительно концов отрезка длиной 3,75 м, или относительно центра его, то достаточно сделать следующее вычисление:

$$d_1=\frac{3,75-0,75}{2}=1,5$$

$$f_1=3,75-d_1=2,25$$

А дальше фокус определить по формуле линзы.

Ответ: 0,9 м.