Задачи для подготовки к олимпиадам по МКТ

Еще пара задач для начала подготовки к олимпиадам по МКТ.

Задача 1.

В процессе $p^2 V=const$ внутренняя энергия гелия изменилась на 100 Дж, а температура газа, монотонно возрастая, увеличилась в $k=3$ раза. Найти: 1) начальный объем $V_1$ газа; 2) начальное давление $p_1$ газа. Максимальный объем, который занимал газ в этом процессе, $V_{max}=3$ л.

Решение.

К задаче 1

Перепишем условие так:

$$pT=const$$

Или

$$p_1T_1=p_2T_2$$

$$p_1=\frac{T_2}{T_1}p_2=kp_2$$

Также можно записать следующее:

$$p_1^2V_1=p_2^2V_2$$

$$k^2p_2^2V_1= p_2^2V_2$$

Или

$$V_1=\frac{V_2}{k^2}=\frac{V_2}{9}$$

Так как $V_2=V_{max}$, то $V_1=\frac{1}{3}$ л.

Ответим на второй вопрос задачи.

$$\Delta U=\frac{3}{2}\nu R\Delta T=\frac{3}{2}\nu R(T_2-T_1)= \frac{3}{2}\nu R T_2-\frac{3}{2}\nu R T_1=\frac{3}{2}(p_2V_2-p_1V_1)$$

$$\Delta U=\frac{3}{2}(\frac{1}{3}p_1\cdot 9V_1-p_1V_1)=\frac{3}{2}\cdot 2p_1V_1=3p_1V_1$$

$$p_1=\frac{\Delta U}{3V_1}=\frac{100}{3\cdot\frac{1}{3}\cdot 10^{-3}}=10^5$$

Задача 2.

Компрессор захватывает при каждом качании $V_0=4$ л воздуха при атмосферном давлении $p_0=10^5$ Па и температуре $t_0=-3^{\circ}$ С и нагнетает его в резервуар емкостью $V=1,5$ м$^3$, причем температура воздуха в резервуаре поддерживается равной $t=45^{\circ}$ С. Сколько качаний $n$ должен сделать компрессор, чтобы давление в резервуаре увеличилось на $\Delta p=1,96\cdot 10^5$ Па?

Решение.

$$\Delta p V=\frac{m}{M}RT$$

Масса газа, создающая избыточное давление $\Delta p$:

$$m=\frac{M\Delta p V}{RT}=\frac{M\Delta p V}{R(t+273)}$$

$$p_0V_0 n=\frac{m}{M}RT_0$$

Подставляем массу:

$$p_0V_0 n=\Delta p V\frac{T_0}{T}$$

$$n=\frac{\Delta p V }{p_0V_0}\cdot \frac{T_0}{T}=\frac{1,96\cdot 10^5\cdot 1,5\cdot 270}{10^5\cdot 4\cdot 10^{-3}(45+273)}=624$$

Ответ: 624 качания.