Закон Менделеева-Клапейрона: задачи на внимательность

Задача 1.

По магистральному газопроводу Уренгой-Помары-Ужгород с диаметром труб $d=1020$ мм подается смесь горючих газов под давлением 10 атм. Скорость движения газа в трубе $\upsilon=10$ м/с, температура $t=17^{\circ}C$. Молярная масса смеси $M=44$ г/моль. Какая масса смеси прокачивается за год?

Решение. Начнем с сечения газопровода:

$$S=\frac{\pi d^2}{4}$$

За год газ убежал бы по трубе (будь у него такая возможность) на расстояние

$$L=\upsilon \tau$$

Где $\tau=\pi \cdot 10^7$ c – год.

Тогда

$$V=SL=\frac{\pi d^2}{4}\cdot \upsilon \tau$$

Запишем для газа уравнение Менделеева-Клапейрона:

$$pV=\frac{m}{M}RT$$

$$m=\frac{pVM}{RT}=\frac{pM}{RT}\cdot \frac{\pi d^2}{4}\cdot \upsilon \tau=\frac{10^6\cdot 0,044}{8,31\cdot 290}\cdot \frac{3,14^2\cdot 1,02^2}{4}\cdot 10\cdot 10^7$$

Ответ: $m=468$ тыс. тонн.

Задача 2.

В сферический газгольдер из стали $\rho=7800$ кг/м$^3$ закачан азот при температуре $T=290 $К при давлении 100 атм. Найти массу оболочки $2m$, если масса газа $m$. Толщина оболочки $d=1$ см, $d<<r$.

Решение. С одной стороны,

$$V=\frac{4}{3}\pi r^3$$

С другой стороны, объем газа можно найти через уравнение Менделеева-Клапейрона:

$$V=\frac{mRT}{p M}$$

$$\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{mRT}{p M}$$

$$m=\frac{4pM}{3RT}\pi r^3$$

Объем оболочки, благодаря тому, что $d<<r$, можно определить как

$$V_o=4\pi r^2 \cdot d$$

А масса тогда

$$2m=\rho V_o$$

То есть объем оболочки

$$\frac{2m}{\rho}=4\pi r^2 \cdot d$$

Подставим массу:

$$\frac{8pM}{3RT\rho}\pi r^3=4\pi r^2 \cdot d$$

Сократим:

$$\frac{2pM}{3RT\rho}\cdot r=d$$

Откуда

$$r=\frac{3RT\rho d}{2pM}$$

Масса оболочки

$$2m=4\pi r^2 d \rho =\frac{4\cdot 9 \pi R^2 T^2\rho^3 d^3}{4p^2M^2}=\frac{9 \pi R^2 T^2\rho^3 d^3}{p^2M^2}=\frac{9\cdot 3,14\cdot8,31^2\cdot 290^2\cdot 7800^3\cdot 0,01^3}{10^{14}\cdot 0,028^2}=994$$

Ответ: масса оболочки 994 кг.

Задача 3.

Два соединенных трубкой баллона $V_1=7$ л и $V_2=5$ л содержат некоторое количество азота. Первый находится при температуре $0^{\circ}$C. До какой температуры надо нагреть второй баллон, чтобы в нем осталось $\frac{1}{3}$ азота по массе?

Решение. Давление в сосудах одно и то же, они же соединены. Для первого

$$pV_1=\frac{\frac{2m}{3}\cdot RT_1}{M}$$

Для второго

$$ pV_2=\frac{\frac{m}{3}\cdot RT_2}{M}$$

Делим уравнения друг на друга:

$$\frac{V_1}{V_2}=\frac{2T_1}{T_2}$$

$$T_2=\frac{2T_1V_2}{V_1}=\frac{2\cdot 273\cdot 0,005}{0,007}=390$$

Ответ: второй надо нагреть на $t_2=117^{\circ}$C.