Закон Дальтона - хитрые задачки

Задача 1.

В сосуде при давлении $p=10^5$ Па и температуре $t=27^{\circ}$ находится смесь азота, кислорода и гелия, массы которых равны. Найти плотность смеси газов.

Решение. Мы ищем величину

$$\rho=\frac{m_1+m_2+m_3}{V}=\frac{\nu_1M_1+\nu_2M_2+\nu_3M_3}{V}$$

Запишем закон Менделеева-Клапейрона для смеси газов:

$$pV=(\nu_1+\nu_2+\nu_3)RT$$

$$\nu_1+\nu_2+\nu_3=\frac{pV}{RT}$$

Также известно, что

$$\nu_1M_1=\nu_2M_2=\nu_3M_3$$

А это значит, что

$$28\nu_1=32\nu_2=4\nu_3$$

$$ \nu_1\div \nu_2 \div \nu_3=8\div 7 \div 56$$

Подставим это в закон Менделеева-Клапейрона:

$$\nu_1+\frac{7}{8}\nu_1+7\nu_1=\frac{pV}{RT}$$

$$\frac{71}{8}\nu_1=\frac{pV}{RT}=\frac{10^5V}{8,31\cdot 300}$$

$$\frac{71}{8}\frac{\nu_1}{V}=40$$

Откуда

$$\frac{\nu_1}{V}=4,5$$

Определяем также $\frac{\nu_2}{V}$ и $\frac{\nu_3}{V}$:

$$\frac{\nu_2}{V}=3,94$$

$$\frac{\nu_3}{V}=31,55$$

Теперь считаем плотность и записываем ответ:

$$\rho=\frac{\nu_1}{V}\cdot M_1+\frac{\nu_2}{V}\cdot M_2+\frac{\nu_3}{V}\cdot M_3=4,5\cdot 0,028+3,94\cdot 0,032 +31,55\cdot 0,004=0,378$$

Ответ: 378 г/м$^3$.

Задача 2.

Плотность газа, состоящего из смеси гелия и аргона $\rho=2$ кг/м$^3$ при давлении $p=150$ кПа и температуре $t=27^{\circ}$ сколько атомов гелия содержится в газовой смеси объемом 1 см$^3$?

Решение. Необходимо найти концентрацию, тогда дальше мы уже разберемся, какой дать ответ. Концентрация  будет складываться из концентраций обоих газов:

$$n=n_1+n_2$$

Здесь индекс 1 относится к гелию, 2 – к аргону. Это равенство можно переписать:

$$\frac{N}{V}=\frac{N_1}{V}+\frac{N_2}{V}$$

Или

$$\frac{\nu N_A}{V}=\frac{\nu_1 N_A }{V}+\frac{\nu_2 N_A }{V}$$

Но $n=\frac{p}{kT}$. Поэтому

$$\frac{p}{kT}=\frac{ N_A }{V}(\nu_1+\nu_2)$$

Тогда:

$$\frac{ \nu_1+\nu_2}{V}=\frac{p}{RT}$$

Также в этой задаче мы знаем плотность. Она равна:

$$\rho=\frac{m_1+m_2}{V}$$

Или

$$\rho=\frac{\nu_1 M_1+\nu_2 M_2}{V}$$

Если переобозначить за новые неизвестные $a=\frac{\nu_1}{V}$, $b=\frac{\nu_2}{V}$, то можно переписать оба полученных нами уравнения так:

$$a+b=\frac{p}{RT}$$

$$aM_1+bM_2=\rho$$

Решаем систему:

$$a+b=\frac{1,5\cdot 10^5}{8,31\cdot 300}$$

$$0,004a+0,04b=2$$

Еще раз преобразуем:

$$a+b=60$$

$$4a+40b=2000$$

Решение этой простой системы дает

$$a=11,1;\ \ \ \ \ \ \ \ b=48,9$$

Определяем концентрацию:

$$n_1=\frac{\nu_1}{V}\cdot N_A=11,1\cdot 6\cdot 10^{23}=66,6\cdot 10^{23}$$

Столько атомов гелия в метре кубическом. А в сантиметре – в миллион раз меньше, то есть $k=66,6\cdot 10^{17}$.

Ответ: $k=66,6\cdot 10^{17}$.