Задачник Добродеева, МКТ, 9.18-9.20

Задача 1.

В цилиндре, площадь основания которого равна $S = 20$ см2, находится воздух при температуре $t_1 = 12^{\circ}$ С. Атмосферное давление $p_1 = 101$ кПа. На высоте $H_1 = 60$ см от основания цилиндра расположен поршень. На сколько $\Delta H$ опустится поршень, если на него поставить гирю массы $m = 20$ кг, а воздух в цилиндре при этом нагреть до $t_2 = 27^{\circ}$ С? Трение поршня о стенки цилиндра и массу самого поршня не учитывать.

Решение. Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона

$$p_1V=\nu RT_1$$

Откуда

$$\nu R=\frac{p_1V}{T_1}$$

Первоначальное давление атмосферное, а конечное найдем из уравнения по второму закону Ньютона:

$$p_2S=p_1S+mg$$

Новое давление из Менделеева-Клапейрона

$$p_2Sh_{nov}=\nu RT_2$$

$$ h_{nov}=\frac{\nu RT_2}{p_2S}$$

$$ h_{nov}=\frac{pVT_2}{T_1(p_1S+mg)}= \frac{pH_1ST_2}{T_1(p_1S+mg)}$$

$$ h_{nov}=\frac{101\cdot 10^3\cdot 0,6\cdot 20\cdot 10^{-4}\cdot 300}{285(101\cdot 10^3\cdot 20\cdot 10^{-4} +200)}=0,317$$

Так что изменение высоты произошло на $\Delta h=H_1- h_{nov}=60-31,7=28,3$.

Ответ: 28,3 см

Задача 2.

В цилиндре, закрытом легко подвижным поршнем массы $M$ и площади $S$, находится газ. Объем газа равен $V$. Найти изменение объема газа $\Delta V$, если цилиндр передвигать вертикально с ускорением $a$ так, что: а) $а_х > 0$; б) $а_х < 0$. Атмосферное давление равно $р_0$, температура газа постоянна. Ось 0х координат направлена вверх.

Решение. Первоначальное давление

$$pS=p_0S+Mg$$

Затем, когда поршень будет двигаться с ускорением вверх,

$$ma=p_1S-p_0S-Mg$$

$$p_1S=ma+p_0S+Mg$$

Затем, если вниз,

$$ma= p_0S+Mg-p_2S$$

$$p_2S= p_0S+Mg-ma$$

Согласно Менделееву-Клапейрону,

$$pSH_0=\nu RT$$

$$p_1SH_1=\nu RT$$

$$p_2SH_2=\nu RT$$

Тогда

$$pSH_0= p_1SH_1$$

$$pSH_0= p_2SH_2$$

То есть

$$( p_0S+Mg)H_0=( ma+p_0S+Mg)H_1$$

$$H_1=\frac{( p_0S+Mg)H_0}{ ma+p_0S+Mg }$$

$$\Delta V_1=S(H_0-H_1)=V-SH_1$$

При ускорении вниз

$$( p_0S+Mg)H_0=( p_0S+Mg-ma)H_2$$

$$H_2=\frac{( p_0S+Mg)H_0}{ p_0S+Mg-ma }$$

$$\Delta V_2=S(H_2-H_0)=SH_2-V$$

Окончательный ответ не стала расписывать – осталось просто подставить $H_1$ и $H_2$.

Задача 3.

В цилиндрическом сосуде, расположенном вертикально, находится газ массой $M$ с молярной массой $\mu$. Газ отделен от атмосферы поршнем, соединенным с дном сосуда растянутой пружиной жесткости $k$. При температуре $Т_1$ поршень расположен на высоте $h$ от дна сосуда. До какой температуры $Т_2$ надо нагреть газ, чтобы поршень поднялся до высоты $Н$?

Решение. Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для первого состояния:

$$p_1V_1=\nu R T_1$$

$$p_1hS=\nu R T_1$$

$$p_1S=\frac{\nu R T_1}{h}$$

С другой стороны,

$$p_1S=mg+p_0S+kx_1$$

Аналогично для более высокой температуры:

$$p_2V_2=\nu R T_2$$

$$p_2HS=\nu R T_2$$

$$p_2S=\frac{\nu R T_2}{H}$$

С другой стороны,

$$p_2S=mg+p_0S+kx_2$$

То есть

$$mg+p_0S+kx_1=\frac{\nu R T_1}{h}$$

$$ mg+p_0S+kx_2=\frac{\nu R T_2}{H}$$

При вычитании получим

$$k(x_2-x_1)=\nu R\left(\frac{T_2}{H}-\frac{T_1}{h}\right)$$

Или

$$k(H-h)= \nu R\left(\frac{T_2}{H}-\frac{T_1}{h}\right)$$

$$\frac{ k(H-h)}{\nu R}=\frac{T_2}{H}-\frac{T_1}{h}$$

$$\frac{T_2}{H}=\frac{ k(H-h)}{\nu R}+\frac{T_1}{h}$$

$$T_2=\frac{ k(H-h)H}{\nu R}+\frac{T_1H}{h}$$

Окончательно

$$T_2=\frac{ k(H-h)H\mu}{M R}+\frac{T_1H}{h}$$

Ответ: $T_2=\frac{ k(H-h)H\mu}{M R}+\frac{T_1H}{h}$