Уравнение Менделеева-Клапейрона. Задачи уровня В

Задачи подобного уровня сложности трудно отнести к уровню С - они для этого простоваты, а вот к уровню В их можно отнести смело. Одна из задач - классическая задача с изменением массы газа, а вторая - тоже вполне классическая задача с поршнем.

К задаче 1

Задача 1.

В цилиндре под поршнем находится газ при давлении $p_1$ и температуре $T_1$. Поршень удерживается упругой пружиной. Во сколько раз нужно увеличить температуру газа, чтобы его объем увеличился в 1,5 раза? Если газ полностью откачать  из-под поршня, поршень будет находиться в равновесии у дна цилиндра.

Запишем уравнение Менделеева – Клапейрона для газа в начальном состоянии:

$$p_1V_1=\nu R T_1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$

Сначала на поршень действуют силы: давления атмосферы: $p_0S$, давления газа $p_1 S$, и сила упругости пружины: $F=k(h_0-l)$, где $h_0$ - расстояние от дна сосуда до поршня, а $l$ - длина пружины в нерастянутом состоянии. Обратим внимание, что в задаче не упомянута масса поршня, отсутствует слово "массивный", следовательно, массой поршня пренебрегаем. Можем тогда записать:

$$p_0 S+ k(h_0-l)= p_1 S$$

Если газ начать откачивать, то сначала пружина вернется в нерастянутое состояние, а потом, при еще большем уменьшении количества газа, пружина начнет сжиматься под действием атмосферного давления:

$$p_0 S=kl$$

Решая совместно эти уравнения, получим:

$$ kl+ k(h_0-l)= p_1 S$$

$$ kh_0= p_1 S$$
$$ h_0=\frac{p_1S}{ k }$$
следовательно, можем заключить, что, раз объем вырос в 1,5 раза, то в полтора раза выросла величина $h_0$, а значит, и давление. Тогда $p_2=1,5p_1$.

Запишем уравнение Менделеева – Клапейрона для газа в подогретом состоянии:

$$p_2V_2=\nu R T_2$$

Откуда

$$T_2=\frac{ p_2V_2}{\nu R }$$

Из (1) получаем, что

$$\nu R=\frac{ p_1V_1}{T_1}$$

Подставим:

$$T_2=\frac{ p_2V_2 T_1}{ p_1V_1 }=\frac{ 1,5p_1\cdot1,5V_1 T_1}{ p_1V_1 }=2,25T_1$$

Ответ: 2,25.

Задача 2. В баллоне находится некоторое количество газа при атмосферном давлении $p_0 = 10^5$ Па. При открытом  вентиле баллон был нагрет, после чего вентиль закрыли и газ остыл до начальной температуры $t = 10^{\circ}$ С, давление в баллоне упало до $p = 0,7\cdot 10^5$ Па. Каково максимальное изменение температуры баллона?

Когда баллон нагрели, изменился объем газа, и, поскольку вентиль был открыт, часть газа утекла из баллона.

Сначала состояние газа можно было определить уравнением:

$$p_0 V=\frac{m_1}{M}R T_0$$

Затем, когда часть газа вышла из баллона, состояние газа опишем уравнением:

$$p_0 V=\frac{m_2}{M}R T_{max}$$

Затем газ охладили вновь до температуры $T_0$, и мы запишем следующее уравнение:

$$pV=\frac{m_2}{M}R T_0$$

Тогда из второго уравнения

$$\frac{m_2}{M}R=\frac{p_0 V}{ T_{max}}$$

А из третьего

$$\frac{m_2}{M}R=\frac{pV}{T_0}$$

Следовательно, деля друг на друга уравнения,

$$1=\frac{p_0 T_0}{p T_{max}}$$

Откуда

$$ T_{max}=\frac{p_0}{p} T_0$$

Очевидно, что изменение температуры баллона

$$\Delta T= T_{max}- T_0= T_0\left(\frac{p_0}{p}-1\right)$$

Подставляем численные данные:

$$\Delta T= (273+10)\left(\frac{10^5}{0,7\cdot 10^5}-1\right)=121,28$$

Ответ: $\Delta T = 121,3$ К.