Уравнение Менделеева-Клапейрона: задачи среднего уровня.

Задача 1.

В комнате объема $V = 60$ м$^3$ испарили капельку духов, содержащую $m= 10^{-4}$ г ароматического вещества. Сколько молекул ароматического вещества попадает в легкие человека при каждом вздохе? Объем вдыхаемого воздуха $V_B =1$ дм$^3$. Молярная масса ароматического вещества $M = 1$ кг / моль.

Молекулы духов распространились по всей комнате и распределились по всему ее объему. Всего молекул в капельке было:

$$N=\nu N_A=\frac{m}{M}N_A$$

Число молекул во вдыхаемом воздухе так относится к общему числу молекул, как сам этот объем относится к полному объему комнаты:

$$\frac{N_1}{N}=\frac{ V_B }{V}$$

Тогда

$$N_1=\frac{ V_B N}{V}=\frac{ V_B m N_A}{VM}=\frac{ 10^{-3}\cdot10^{-4}\cdot6\cdot10^{23}}{60}=10^{12}$$

Ответ: $N=10^{12}$.

К задаче 2

Задача 2.

При взрыве атомной бомбы (М = 1 кг плутония 242Рu) получается одна радиоактивная частица на каждый атом плутония. Предполагая, что ветры равномерно перемешивают эти частицы во всей атмосфере, подсчитайте число радиоактивных частиц, попадающих в объем $V = 1$ дм$^3$ воздуха у поверхности Земли. Радиус Земли принять равным $R_Z= 6\cdot10^6$ м.

Данных этой задачи, на мой взгляд, недостаточно. Нужно бы знать толщину атмосферы, иначе как посчитать ее объем? Примем толщину атмосферы равной 10 км и будем считать ее равноплотной. Тогда количество частиц, которые образуются при взрыве, равно

$$N=\nu N_A=\frac{m}{M}N_A$$

Они равномерно распределятся, и число частиц в $V = 1$ дм$^3$ воздуха у поверхности Земли так относится к общему числу молекул, как сам этот объем относится к полному объему атмосферы:

$$\frac{N_1}{N}=\frac{ V }{V_a}$$

Тогда

$$N_1=\frac{ V N}{V_a}=\frac{ V m N_A}{V_a M}$$

Определим объем атмосферы. Для этого определим объем нашей Земли вместе с атмосферой, а затем вычтем объем планеты:

$$V_a=V_{az}-V_z=\frac{4\pi (R+h)^3}{3}-\frac{4\pi R^3}{3}=\frac{4h\pi}{3}((R+h)^3-R^3)$$

$$V_a=\frac{4\pi h}{3}(R^2+Rh+h^2)= \frac{4\pi \cdot10^4}{3}(36\cdot10^{12}+6\cdot10^6 \cdot10^4+10^8)= \frac{4\pi\cdot10^{12}}{3}(360000+600+1)=1,51\cdot 10^{18}$$

Следовательно,

$$N_1=\frac{ V m N_A}{V_a M}=\frac{ 10^{-3}\cdot6\cdot10^{23}}{1,51\cdot 10^{18}\cdot0,242}=16\cdot10^2$$

Если же принять толщину атмосферы в 100 км, то результат будет 9 частиц на дм$^3$.

Задача 3.

Спутник сечения $S = 1$ м$^2$ движется с первой космической скоростью $\upsilon = 7,9$ км/с по околоземной орбите. Давление воздуха на высоте орбиты ($h = 200$ км) $p= 1,37\cdot 10^{-4}$ Па, температура Т = 1226 К. Определите число столкновений спутника с молекулами воздуха в единицу времени.

К задаче 3

Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона

$$pV=\nu RT$$

Так как $N=\nu N_A$, то можно переписать это таким образом:

$$pV N_A= N RT$$

Разделим на время правую и левую части равенства:

$$\frac{pV N_A}{t}= \frac{N RT}{t}$$

Искомая величина - $\frac{N}{t}$, из последнего уравнения она равна

$$\frac{N}{t}=\frac{pV N_A}{RTt}$$

Но объем, «покрываемый» ракетой за время $t$, равен

$$\frac{V}{t}=\frac{Sl}{t}=S\upsilon$$

Тогда

$$\frac{N}{t}=\frac{p N_A}{RT}\cdot \frac{V}{t}=\frac{p N_A S\upsilon }{RT}$$

Подставим числа:

$$\frac{N}{t}=\frac{1,37\cdot 10^{-4} \cdot6\cdot10^{23}\cdot 1\cdot 7900}{8,31\cdot 1226}=6,37\cdot 10^{19}$$
Ответ: $6,37\cdot 10^{19}$ c$^{-1}$.

Задача 4.

Некоторая масса водорода занимает объем 10 дм$^3$ при давлении $p = 10^7$ Па и температуре $t = 20^{\circ}$ С. Какая масса водорода израсходована, если при сжигании оставшегося водорода образовалось 0,5 дм$^3$ воды?

Заметим, что 0,5 дм$^3$ воды – это пол-литра, а пол-литра – это полкило воды. Однако на экзамене все эти доводы надо оформить соответствующим образом.  Найдем массу воды $ m_v$ через ее объем $ V_v$  и плотность:

$$m_v=\rho_v V_v$$
Тогда количество вещества воды равно

$$\nu=\frac{m_v}{M_v}=\frac{\rho_v V_v }{ M_v }$$

Интересно, что и в молекуле водорода, и в молекуле воды два атома водорода. Следовательно, количество вещества воды и количество вещества оставшегося водорода совпадают. Тогда, если водорода было $\nu_1$, а осталось $\nu$, то потратили

$$\Delta \nu=\nu_1-\nu$$

А по массе это

$$m=(\nu_1-\nu)M_{H_2}$$

Определим количество вещества, которое было изначально:

$$pV=\nu_1 RT$$

$$\nu_1=\frac{ pV }{ RT }$$

$$m=(\frac{ pV }{ RT }-\frac{\rho_v V_v }{ M_v })M_{H_2}$$

Подставим числа:

$$m=(\frac{ 10^7\cdot 10^{-2} }{ 8,31\cdot 293 }-\frac{10^3\cdot 0,5\cdot10^{-3} }{ 0,018 })0,002=0,0266$$

Ответ: $m = 26,6$ г.