Уравнение Менделеева-Клапейрона: задачи

Уравнению Менделеева -Клапейрона подчиняются газы, которые могут считаться идеальными или близкими к идеальным по своим свойствам. В этой статье для вас собраны решения достаточно простых задач.

Задача 1.

Определить давление кислорода в баллоне объемом 1 м$^3$ при температуре $t=27^{\circ}C$ . Масса кислорода 1 кг.

Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона

$$pV=\nu RT$$

$$p=\frac{\nu RT }{V}$$

Не забываем, что температуру надо перевести в Кельвины: $T=t+273^{\circ}=300^{\circ}$ К.

Заменим число молей отношением: $\nu=\frac{m}{M}$

Предполагаем, что кислород молекулярный, тогда молярная масса его $M=32$ г/м$^3$.

$$p=\frac{mRT }{MV}=\frac{1\cdot 8,31\cdot 300}{32\cdot 10^{-3}}=78000$$

Ответ: 78 кПа

 

Задача 2.

  Каким может быть наименьший объем баллона, содержащего кислород массой 6,4 кг , если его стенки при $t=20^{\circ}C$ выдерживают давление $p=1568$ Н/см$^2$?

Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона

$$pV=\nu RT$$

$$V=\frac{\nu RT }{p}$$

Не забываем, что температуру надо перевести в Кельвины: $T=t+273^{\circ}=293^{\circ}$ К.

Заменим число молей отношением: $\nu=\frac{m}{M}$

Предполагаем, что кислород молекулярный, тогда молярная масса его $M=32$ г/м$^3$.

Давление выражаем в Н/м$^2$: 15680000 Па.

$$V=\frac{m RT }{pM}=\frac{6,4\cdot8,31\cdot 293 }{15680000\cdot32\cdot10^{-3}}=3,1\cdot 10^{-2}$$

Ответ: $V=3,1\cdot 10^{-2}$ м$^3$, или 31 л.

 

Задача 3.

Используя уравнение состояния идеального газа, доказать,  что плотность любого газа равна половине плотности водорода $\rho_{H_2}$, взятого при тех же условиях, умноженной на относительную молекулярную массу этого газа $M_r$, то есть $\rho=\frac{\rho_{H_2} \cdot M_r}{2} $.

Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона

$$pV=\nu RT$$

Плотность – это масса некоторого объема: $\rho=\frac{m}{V}$, или $V=\frac{m}{\rho}$. Тогда

$$p\frac{m}{\rho}=\nu RT$$

$$\rho=\frac{pm}{\nu RT}$$

Молярная масса вещества равна:

$$M=\frac{m}{\nu}$$

Тогда плотность газа

$$\rho=\frac{pM}{ RT}=\frac{p}{ RT}M$$

Для водорода эта формула запишется так:

$$\rho_{H_2}=\frac{p}{ RT}M_{H_2}$$

А так как по условию задачи водород находится при тех же условиях, то

$$\frac{\rho_{H_2}}{ M_{H_2}}=\frac{p}{ RT} $$

Подставим последнее в выражение для плотности газа:

$$\rho= M\ frac{p}{ RT} =M\frac{\rho_{H_2}}{ M_{H_2}}$$

Переходя от молекулярного водорода к атомарному

$$\rho=M\frac{\rho_{H_2}}{ 2M_{H}}= M_r\frac{\rho_{H_2}}{ 2}$$

Молекулярная масса численно равна молярной и представляет собой массу молекулы в атомных единицах, поэтому в последней формуле перешли к молекулярной массе (так как молярная масса водорода равна 1, но ее размерность никуда не делась – собственно, она-то и вызвала появление молекулярной массы в формуле).

 

Задача 4.

До какой температуры $T_1$ при постоянном давлении $p=10^5$ Па надо нагреть кислород, чтобы его плотность стала равна плотности водорода при том же давлении и температуре $T_2=200$ К?

Из предыдущей задачи плотность газа

$$\rho=\frac{pM}{ RT}$$

Для кислорода:

$$\rho=\frac{pM_{O_2}}{ RT_1}$$

Для водорода:

$$\rho=\frac{pM_{H_2}}{ RT_2}$$

Приравняем плотности:

$$\rho=\frac{pM_{O_2}}{ RT_1}=\frac{pM_{H_2}}{ RT_2}$$

Сократив, имеем:

$$\frac{M_{O_2}}{ T_1}=\frac{M_{H_2}}{ T_2}$$

Откуда

$$ T_1=\frac{M_{O_2} T_2}{ M_{H_2}}=\frac{32\cdot 200}{2}=3200$$

Ответ: 3200 К

 

Задача 5.

Найти формулу некоторого соединения углерода с водородом, если известно, что это вещество массой $m=0,66$ г в газообразном состоянии при температуре $ t=27^{\circ}C$   в объеме 1 дм$^3$ создает давление $p=10^5$ Па?

Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона

$$pV=\nu RT$$

$$pV=\frac{m RT}{M}$$

Молярная масса вещества равна:

$$M=\frac{m RT}{pV}=\frac{0,66 \cdot10^{-3}\cdot 8,31\cdot300}{10^5\cdot10^{-3}}=16\cdot10^{-3}$$

В формулу подставлена абсолютная температура $T=t+273^{\circ}=300^{\circ}$ К и объем выражен в м$^3$.

$M=16\cdot10^{-3}$ кг/моль, или 16 г/моль, или молекулярная масса равна 16 а.е.м. – то есть в состав соединения войдет атом углерода с молекулярной массой 12 а.е.м. и 4 атома водорода с молекулярной массой 1 а.е.м. – формула соединения $CH_4$.