Уравнение Менделеева-Клапейрона: сложные задачи

Уравнению Менделеева -Клапейрона подчиняются газы, которые могут считаться идеальными или близкими к идеальным по своим свойствам. В этой статье для вас собраны решения действительно сложных задач.

Задача 1.

В вертикально расположенном цилиндре находится газ массой $m=0,01$ кг. Он отделен от атмосферы поршнем, соединенным с дном пружиной жесткостью $k=20$ Н/м. При температуре $T_1=290$ К поршень расположен на расстоянии $h=0,2$ м от дна цилиндра. До какой температуры $T_2$ надо нагреть газ, чтобы поршень поднялся до высоты $H=0,5$ м? Молярная масса газа $M=29$ кг/моль.

Как всегда, при решении задач по физике главное – хорошо представить себе, что происходит. Сначала: пружина находится в слегка растянутом состоянии – это надо хорошо понимать. Есть такое положение поршня, когда пружина не растянута, но пока мы не знаем, что это за положение. Потом: пружина растянется больше, чем в начальном положении, что связано с нагревом и расширением газа. То есть и в  первом, и во втором положении поршня пружина растянута.

Тогда для первого состояния газа

$$pV=\nu R T$$

$$p=\frac{F}{S}$$

$$F=k\Delta x$$

Тогда давление

$$p=\frac{ k\Delta x }{S}$$

Объем газа поначалу:

$$V=(\Delta x+x)S$$

Здесь $x$ - высота расположения поршня над дном, когда пружина в нерастянутом положении.

Где $=(\Delta x+x)=h$

Тогда уравнение состояния газа будет выглядеть так:

$$\frac{ k\Delta x }{S} (\Delta x+x)S =\nu R T$$

$$ k\Delta x h =\nu R T$$

Откуда

$$ \Delta x=\frac{\nu R T }{k h}$$

Вот теперь мы можем найти то положение поршня, когда пружина находится в нерастянутом состоянии:

$$x=h-\Delta x=h-\frac{\nu R T }{k h}$$

Теперь переходим к рассмотрению состояния газа, когда его нагрели:

$$p_2V_2=\nu R T_2$$

Искомая температура:

$$ T_2=\frac {p_2V_2}{\nu R }$$

Здесь $V_2=HS$, $p_2=\frac{F_2}{S}$.

$$F_2={\Delta x}_2 k$$

$${\Delta x}_2=H-x$$

Тогда $F_2=(H-x)k$

$$p_2=\frac{(H-x)k }{S}$$

$$ T_2=\frac {(H-x)k H}{\nu R }$$

Осталось подставить в нашу формулу начальное положение поршня - $x$, и количество вещества - $\nu=\frac{m}{M}$. Получаем:

$$ T_2=\frac {(H- h+\frac{m R T }{M k h})k MH}{m R }$$

$$ T_2=\frac {HMk(H- h)+\frac{m R T H}{h}}{m R }=\frac {HMk(H- h)}{mR}+\frac {HT}{h}$$

$$ T_2=\frac {0,5\cdot29\cdot20(0,5- 0,2)}{0,0831}+\frac {0,5\cdot290}{0,2}=726$$

Ответ: 726 К. Остался вопрос: что ж это за газ такой с молярной массой 29 кг/моль, когда, например, у ртути она 200 г/моль? А у самого тяжелого элемента – лоуренсия – 256 г/моль?

 

Задача 2.

Гелий массой 20 г бесконечно медленно переводят из состояния, в котором газ занимает объем $V_1=32$ л при давлении $p_1=4,1\cdot 10^5$ Па в состояние  с термодинамическими параметрами  $V_2=9$ л, $p_2=15,5\cdot 10^5$ Па. До какой наибольшей температуры нагревается газ в этом процессе?

В осях $pV$, в которых изображен график, изотермы представляют собой гиперболы. Лежащая выше всех изотерма соответствует самой высокой температуре. Прямая, изображающая процесс, будет касательной к данной изотерме. Выведем уравнение данной прямой. Имея две точки, принадлежащие ей, это нетрудно сделать. Общее уравнение прямой $y=kx+b$, в нашем случае $p=kV+b$. Подставив в это уравнение координаты точек – то есть давление и объем для каждого состояния – получим коэффициенты прямой.

$$\begin{Bmatrix}{ p_1=kV_1+b }\\{ p_2=kV_2+b }\end{matrix}$$

Вычитая уравнения, имеем

$$p_1-p_2=k(V_1-V_2)$$

$$k=\frac{ p_1-p_2}{ V_1-V_2}$$

Определим второй коэффициент, подставив первый в любое из уравнений:

$$ p_1=\frac{ p_1-p_2}{ V_1-V_2}V_1+b$$

$$ b = p_1-\frac{ p_1-p_2}{ V_1-V_2}V_1 $$

$$ b =\frac{ p_1(V_1-V_2)- (p_1-p_2)V_1}{ V_1-V_2}$$

$$ b =\frac{ p_2V_1-p_1V_2}{ V_1-V_2}$$

Тогда наша зависимость давления от объема приобретает вид:

$$ p=kV+b=\frac{ p_1-p_2}{ V_1-V_2}V+\frac{ p_2V_1-p_1V_2}{ V_1-V_2}$$

Уравнение состояния газа

$$pV=\nu R T$$

Подставляем в него полученную зависимость давления от объема:

$$\frac{ p_1-p_2}{ V_1-V_2}V^2+\frac{ p_2V_1-p_1V_2}{ V_1-V_2}V=\nu R T$$

Мы получили квадратичную зависимость: причем надо обратить внимание на то, что прямая на первом рисунке имеет отрицательный наклон, то есть $k<0$, а значит, и в уравнении полученной квадратичной зависимости первый коэффициент – отрицательный, и парабола у нас будет расположена ветвями вниз. То есть функция, полученная нами, имеет максимум в вершине параболы, которую легко найти, располагая ее уравнением.

$$V_{max}=-\frac{b}{2a}=-\frac{\frac{ p_2V_1-p_1V_2}{ V_1-V_2}}{2\frac{ p_1-p_2}{ V_1-V_2}}= \frac{ p_1V_2-p_2V_1}{2(p_1-p_2)}=20$$

Определяем коэффициенты $b$ и $k$ численно:

$$ b =\frac{ p_2V_1-p_1V_2}{ V_1-V_2}=20\cdot10^5$$

$$k=\frac{ p_1-p_2}{ V_1-V_2}=-0,5 \cdot10^5$$

Максимальное давление будет:

$$p_{max}=k V_{max}+b=-0,5\cdot20\cdot10^5+20\cdot10^5=10\cdot10^5$$

$$T_{max}=\frac{ p_{max} V_{max}}{\nu R}=\frac{10^6\cdot20\cdot10^{-3}}{5\cdot 8,31}=481,3$$

Здесь $\nu=\frac{m}{M}=\frac{20}{4}=5$.

Ответ: 481 К

 

Задача 3.

Два одинаковых сосуда соединены трубкой с клапаном, пропускающим газ  из одного баллона в другой при разности давлений $\Delta p\geqslant 1,1\cdot 10^5$ Па. Сначала в одном баллоне был вакуум, а в другом идеальный газ при температуре $t_1=19^{\circ}C$ под давлением $p_1=10^5$ Па. Затем оба баллона нагрели до температуры $t_2=107^{\circ}C$. Найти давление газа в баллоне, где был вакуум.

В первом сосуде был газ в состоянии

$$p_1V=\nu R T_1$$

Когда температура поднялась, то состояние газа изменилось, более того, изменилось и количество вещества, так как часть газа перешла во второй сосуд.

$$p_2V=(\nu-\nu’) R T_2$$

$$p_2=\frac{(\nu-\nu’) R T_2}{V}$$

Здесь $\nu’$ - количество вещества, перешедшее во второй сосуд.

Во втором сосуде состояние газа описывается уравнением

$$p’ V=\nu’ R T_2$$

$$p’=\frac{\nu’ R T_2}{V}$$

По условию, $p_2-p’=\Delta p$

То есть можно записать:

$$\frac{(\nu-\nu’) R T_2}{V}-\frac{\nu’ R T_2}{V}=\Delta p$$

$$\frac{(\nu-2\nu’) R T_2}{V}=\Delta p$$

Для количества вещества можем записать:

$$\nu=\frac{p_1V}{RT_1}$$

Подставим:

$$\frac{(\frac{p_1V}{RT_1}-2\nu’) R T_2}{V}=\Delta p$$

$$\frac{p_1 T_2}{T_1}-\frac{2\nu’ R T_2}{V}=\Delta p$$

$$\frac{2\nu’ R T_2}{V}=\frac{p_1 T_2}{T_1}-\Delta p$$

$$\nu’ =\frac{\frac{p_1 T_2}{T_1}-\Delta p}{\frac{2RT_2}{V}}$$

$$\nu’ =\frac{\left(\frac{p_1 T_2}{T_1}-\Delta p\right)V}{2RT_2}$$

Тогда

$$p’=\frac{\nu’ R T_2}{V}=\frac{\frac{p_1 T_2}{T_1}-\Delta p}{2}$$

Считаем:

$$T_1=273^{\circ}+19^{\circ}=292^{\circ}$$

$$T_2=273^{\circ}+107^{\circ}=380^{\circ}$$

 

$$p’=\frac{\frac{10^5\cdot 380}{292}-1,1\cdot 10^5}{2}=0,1\cdot10^5$$

Ответ: 0,1 атм или 10 кПа