Уравнение Менделеева-Клапейрона. Графические задачи.

В этой статье приведены задачи, решая которые, мы научимся определять по графикам параметры состояния газа, и использовать найденные или известные параметры для отыскания неизвестных.

К задаче 1

Задача  1. Моль аргона, имеющий температуру $T_1 = 900$ К в состоянии 1, последовательно переводят в состояние 3. Считая аргон идеальным газом, определите среднюю квадратичную  скорость его атомов в состоянии 3. $M= 40$ г/моль.

Запишем формулу для среднеквадратичной скорости молекул:

$$\upsilon=\sqrt{\frac{3kT}{m_0}}$$

Так как нас интересует скорость атомов в состоянии 3, то и температуру нам надо найти именно для этого состояния газа. Ну а массу атома мы определим, зная количество вещества:

$$M=N_A\cdot m_0$$

$$m_0=\frac{M}{ N_A }$$

Для определения температуры давайте напишем уравнения для состояний газа:
$$p_1V_1=RT_1$$

$$p_2V_2=RT_2$$

$$p_3V_3=RT_3$$

Разделим третье уравнение на первое:

$$\frac{T_3}{T_1}=\frac{ p_3V_3}{ p_1V_1}$$

Так как $p_1=p_0$, $V_1=V_0$, $p_3=3p_0$, $V_3=3V_0$, то

$$\frac{T_3}{T_1}=\frac{ p_0\cdot V_0}{ 3p_0\cdot 3V_0}=9$$

Следовательно, $T_1=9T_3$

$$T_3=\frac{T_1}{9}=100$$

Определяем скорость:

$$\upsilon=\sqrt{\frac{3kT_3}{m_0}}=\sqrt{\frac{kT_1 N_A}{3M}}=\sqrt{\frac{1,38\cdot10^{-23}\cdot900\cdot6\cdot10^{23}}{3\cdot4\cdot10^{-2}}}=249,2$$

Ответ: $\upsilon=249,2$ м/с.

К задаче 2

Задача 2.

На рТ-диаграмме изображен замкнутый процесс, который совершает некоторая масса кислорода. Известно, что максимальный объем, который занимал газ в этом процессе, $V_{max} = 16,4$ дм$^3$. Определите массу газа и его объем в точке 1.

Напишем уравнение Менделева-Клапейрона для состояния газа:
$$pV=\nu RT$$

Тогда объем равен:

$$V=\frac{\nu RT }{p}$$

Следовательно, объем будет максимален при минимальном давлении и максимальной температуре. На рисунке это точка 3.

$$V_3=\frac{\nu RT_3 }{p_3}$$

Определим из этого уравнения недостающие для решения задачи данные:

$$\nu R = \frac{p_3V_3}{ T_3}$$

Тогда объем газа в точке 1 равен:

$$V_1=\frac{\nu RT_1 }{p_1}=\frac{ p_3 V_3 T_1 }{p_1 T_3}=\frac{ 10^5\cdot 16,4 \cdot 10^{-3}\cdot 300 }{10^5\cdot 400}=0,0123$$

А масса газа определится из выражения:

$$V_3=\frac{\nu RT_3 }{p_3}=\frac{m RT_3 }{Mp_3}$$

$$m=\frac{p_3 V_3 M}{ RT_3 }=\frac{10^5\cdot 16,4 \cdot 10^{-3}\cdot32\cdot10^{-3}}{ 8,31\cdot 400 }=0,0158$$

Ответ: $V_1=12,3$ дм$^3$; $m=0,016$ кг.

Задача 3.

Некоторая масса газа занимает объем при давлении $p_1$ и температуре $T_1$‚ равный $V_1$. Затем газ при постоянном объеме нагревают до температуры $T_2 = 2T_1$; после чего происходит расширение газа при постоянном давлении до объема $V_3 = 4V_1$. Из получившегося состояния газ возвращают в начальное ($p_1, V_1, T_1$)‚ причем так, что во время этого процесса $pV^n=const$. Определите показатель степени $n$.
Первый процесс протекает при постоянном объеме, то есть изохорно, следовательно, можно записать уравнение по закону Шарля:

$$\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2}$$

Так как $T_2 = 2T_1$, то $p_2=2p_1$.

Затем расширение происходит по закону Гей-Люссака:

$$\frac{V_2}{T_2}=\frac{V_3}{T_3}$$

Так как $V_3 = 4V_1$, то

$$\frac{V_1}{2T_1}=\frac{4V_1}{T_3}$$

$$T_3=8T_1$$

Далее процесс происходит по закону

$$p_1V_1^n=p_3V_3^n$$

Подставим известное давление и сократим известные величины:

$$p_1V_1^n=2p_1(4V_1)^n$$

$$V_1^n=2\cdot4^n\cdot V_1^n$$

Получили показательное уравнение:

$$1=2\cdot2^{2n}$$

$$2^0=2^{1+2n}$$

$$1+2n=0$$

Откуда $n=-\frac{1}{2}$.

Ответ: $n=-\frac{1}{2}$.