Три задачи с поршнями

Задача 1.

Тяжелый подвижный поршень массой $m=9$ кг и площадью $S=10$ см$^2$ делит объем вертикально расположенного цилиндра на две равные части объемом по 1 л каждая. Над поршнем находится вода и водяной пар общей массой $m_1=1,5$ г, под поршнем -  $m_2=1,5$ г азота. Температура в цилиндре $90^{circ}$ C. Каково давление насыщенного пара воды при $90^{\circ}$ C? Какую долю объема занимает вода?

Решение. Так как про пар и воду пока ничего не ясно, то попробуем начать с азота. Его масса известна, объем тоже, - следовательно, можно же определить давление $p$ согласно уравнению Менделеева-Клапейрона?

$$pV=\nu RT=\frac{m}{M}RT$$

$$p=\frac{m RT }{MV}=\frac{0,0015\cdot8,31\cdot(90+273) }{0,028\cdot 0,001}=161600 $$

Запишем уравнение равновесия поршня. На него вниз действует сила тяжести и сила давления водяного пара, а снизу – сила давления азота:

$$mg+p_0S=pS$$

$$p_0=p-\frac{mg}{S}=161600 -\frac{90}{10\cdot10^{-4}}=71600$$

Давление пара, таким образом, примерно 72 кПа. Теперь, зная давление пара, определим его массу.

$$p_0V=\nu_0RT$$

$$\nu_0=\frac{ p_0V}{RT}=\frac{71600\cdot 0,001}{8,31\cdot 363}=0,024$$

Масса пара (в г), значит,

$$m_0=M_0\nu_0=18\cdot0,024=0,427$$

А масса воды 1,07 г. Она займет часть объема, равную

$$\frac{V_0}{V}=\frac{1,07}{1000}=0,0011$$

Ответ: давление насыщенного пара воды при $90^{\circ}$ равно примерно 72 кПа, вода в жидком виде занимает 0,0011 долю объема.

Задача 2.

На луне  в вертикальном цилиндре под тяжелым поршнем находится аргон при температуре $T_1=300$К. Поршень может перемещаться в цилиндре без трения. На поршень осторожно кладут второй такой же поршень. Определите температуру $T_2$ газа при новом равновесном положении поршня. Газ считайте идеальным. Теплоемкость поршня и цилиндра, а также теплообмен с окружающей средой не учитывайте.

Решение. Пусть расстояние от дна сосуда до поршня вначале равно $h_1$, потом  - $h_2$. Пусть масса поршня $m$, а ускорение свободного падения на Луне - $g$.  Тогда условие равновесия поршня вначале выглядит так:

$$mg=p_1S$$

А в конце, когда добавлена масса еще одного поршня,

$$2mg=p_2S$$

Теперь дополним эти уравнения уравнениями по закону Менделеева-Клапейрона.

$$ p_1Sh_1=\nu RT_1$$

$$p_2Sh_2=\nu RT_2$$

В этих последних вместо $ p_1S$ можно подставить $mg$, а вместо $p_2S$ - $2mg$. Получим:

$$mgh_1=\nu RT_1$$

$$2mgh_2=\nu RT_2$$

Теперь можно записать уравнение по закону сохранения энергии. Вначале поршень имеет потенциальную энергию $2mgh_1$ (так как второй уже положили, но опускания еще не произошло), и газ под поршнем имеет некую внутреннюю энергию, а потом, после опускания, потенциальная энергия поршня равна $2mgh_2$, и газ свою внутреннюю энергию увеличил (температура изменилась):

$$2mgh_1+\frac{3}{2}\nu RT_1=2mgh_2+\frac{3}{2}\nu RT_2$$

Преобразуем с учетом последних уравнений:

$$2\nu RT_1+\frac{3}{2}\nu RT_1=\nu RT_2+\frac{3}{2}\nu RT_2$$

Упростим:

$$\frac{7}{2}\nu RT_1=\frac{5}{2}\nu RT_2$$

$$T_2=1,4T_1=1,4\cdot 300=420$$

Ответ: $T_2=420$ К.

Задача 3.

Внутри вертикально расположенного цилиндра, воздух из которого откачан, находится тонкий массивный поршень. Под поршень ввели смесь водорода и гелия, в результате чего поршень поднялся до середины цилиндра. Поскольку материал, из которого изготовлен поршень, оказался проницаемым для гелия, поршень начал медленно опускаться. Спустя достаточно большое время поршень занял окончательное положение равновесия на высоте, составляющей $\frac{1}{3}$высоты цилиндра. Найти отношение $k$ масс водорода и гелия  в смеси в первоначальный момент.

Решение. Гелий перешел в пространство над поршнем (но и под поршнем тоже остался – занимает весь предоставленный объем). Запишем условие равновесия поршня вначале:

$$mg=(p_{H1}+p_{He1})S$$

Запишем также уравнение Менделеева-Клапейрона:

$$ \left(p_{H1}+p_{He1}\right)\frac{V}{2}= (\nu_{H}+\nu_{He})RT$$

То есть

$$ \frac{mg}{S}\cdot \frac{V}{2}= (\nu_{H}+\nu_{He})RT\ \ \ \ \ \ \ \(*)$$

Теперь уравнение равновесия поршня в конце (гелий давит на поршень как сверху, так и снизу):

$$ mg+p_{He2}S= p_{H2}S+ p_{He2}S$$

Упрощаем:

$$ mg= p_{H2}S$$

И следом уравнение Менделеева-Клапейрона:

$$ p_{H2}\cdot \frac{V}{3}= \nu_{H}RT$$

Сделаем аналогично: подставим в последнее произведение $ p_{H2}S$:

$$ \frac{mg}{S}\cdot \frac{V}{3}= \nu_{H}RT \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (**)$$

Приравниваем $\frac{mg}{S}$, выраженное из (*) и (**):

$$\frac{2(\nu_{H}+\nu_{He})RT }{V}=\frac{3\nu_{H}RT }{V}$$

Откуда

$$2(\nu_{H}+\nu_{He})RT=3\nu_{H}RT$$

$$2(\nu_{H}+\nu_{He})=3\nu_{H}$$

$$2\nu_{He}=\nu_{H}$$

И, наконец,

$$k=\frac{m_H}{m_He}=\frac{\nu_{H}\cdot M_H}{\nu_{He}\cdot M_{He}}=\frac{\nu_{H}}{\nu_{He}}\cdot \frac{ M_H }{ M_{He} }=2\cdot\frac{2}{4}=1$$

Ответ: $k=\frac{m_H}{m_He}=1$