Парциальное давление газов и полупроницаемые перегородки

Молекулы разных газов отличаются по размеру. Поэтому один газ можно запереть в некотором объеме, а другой проникнет через ячею и займет пространство за перегородкой. А значит, его давление изменится, потому что теперь он занимает больший объем. В то же время давление в сосуде, где находятся два газа, является суммой их парциальных (частных) давлений. На этих соображениях и построим решение следующих задач.

Задача 1.

Для приготовления газовой смеси с общим давлением 0,5 кПа к сосуду с объемом 10 дм$^3$ присоединили баллон объемом 1 дм$^3$, в котором находится гелий под давлением 4 кПа, и баллон с неоном под давлением 1 кПа. Найдите объем баллона с неоном. Температура постоянна.
Каждый из газов создает парциальное давление. И, так как температура постоянна, мы можем воспользоваться законом Бойля-Мариотта для определения этих парциальных давлений. Сначала гелий находится в сосуде объемом $V_1$, а потом клапаны открывают и он занимает весь предоставленный объем:

$$p_1 V_1=p_{He}(V_1+V_2+V_3)$$

Пусть $V_2$ - объем сосуда с неоном, а $V_3=10$ дм$^3$  - объем, в котором готовят смесь.

Тогда для неона  запишем аналогично:

$$p_2 V_2=p_{Ne}(V_1+V_2+V_3)$$

Найдем парциальные давления газов:

$$ p_{He}=\frac{ p_1 V_1}{ V_1+V_2+V_3}$$

$$ p_{Ne}=\frac{ p_2 V_2}{ V_1+V_2+V_3}$$

Тогда давление в баллоне для смеси – это сумма парциальных давлений:

$$ p_{He}+ p_{Ne}=\frac{ p_1 V_1 + p_2 V_2}{ V_1+V_2+V_3}$$

Откуда определяем $V_2$:

$$ (p_{He}+ p_{Ne})( V_1+V_2+V_3)= p_1 V_1 + p_2 V_2$$

$$ (p_{He}+ p_{Ne})( V_1+V_3)- p_1 V_1 = \left(p_2 -(p_{He}+ p_{Ne})\right)V_2$$

$$V_2=\frac{(p_{He}+ p_{Ne})( V_1+V_3)- p_1 V_1}{ p_2 –(p_{He}+ p_{Ne})}=\frac{500\cdot11\cdot10^{-3}- 4}{ 1000 –500}=3\cdot10^{-3}$$
Ответ: 3 дм$^3$.

К задачам 2 и 3

Задача 2.

  Одинаковые по массе количества водорода и гелия находятся в сосуде объемом $V_1$, который отделен от пустого сосуда объемом $V_2$ полупроницаемой перегородкой, свободно пропускающей молекулы водорода и не пропускающей гелий. После установления равновесия давление в первом сосуде упало в 2 раза. Определите отношение $\frac{V_1}{V_2}$. Температура постоянна. Молярная масса водорода 2 г/моль, гелия 4 г/моль.

Так как молекулы водорода могут проникать через перегородку, то ее как бы и нет для водорода. То есть его давление будет совершенно одинаковым в обеих частях сосуда, и в первой, и во второй. Но во второй части нет атомов гелия, поэтому давление в ней определяется только наличием водорода и равно давлению водорода. В первой же части гелий есть, и в этой части давление будет складываться из парциальных давлений гелия и водорода. Тогда согласно уравнению Менделеева-Клапейрона давления (парциальные) газов изначально равны:

$$p_H=\frac{m_H RT}{M_H V_1}$$

$$p_{He}=\frac{m_{He} RT}{M_{He} V_1}$$

Суммарное давление:

$$p_1= p_H+ p_{He}$$

После того, как молекулы водорода проникнут через перегородку, его давление станет равно:

$$ p_H V_1= p_{H2}(V_1+V_2)$$

$$ p_{H2}=\frac{ p_H V_1}{ V_1+V_2}$$

Теперь суммарное давление в первой части сосуда

$$p_2= p_{H2}+ p_{He}$$

И оно в два раза меньше прежнего:

$$p_2=\frac{1}{2}p_1$$

Тогда:

$$p_{H2}+ p_{He}=\frac{1}{2}( p_H+ p_{He})$$

$$ \frac{1}{2}p_{He}=\frac{1}{2}p_H- p_{H2}$$

$$ \frac{m_{He} RT}{2M_{He} V_1}=\frac{m_H RT}{2M_H V_1}- \frac{ m_H RT V_1}{ M_H V_1(V_1+V_2)}$$

Сократим все, что можно:

$$ \frac{m_{He} }{2M_{He}}=\frac{m_H }{2M_H}- \frac{ m_H  V_1}{ M_H (V_1+V_2)}$$

Так как массы газов равны, то еще упрощаем:

$$ \frac{1}{2M_{He}}=\frac{1}{2M_H}- \frac{V_1}{ M_H (V_1+V_2)}$$

Домножим на $M_H$:

$$ \frac{ M_H }{2M_{He}}=\frac{1}{2}- \frac{V_1}{ V_1+V_2}$$

Теперь упростим правую часть:

$$ \frac{ M_H }{2M_{He}}=\frac{ V_1+V_2-2V_1}{2( V_1+V_2)}$$

$$ \frac{ M_H }{2M_{He}}=\frac{ V_2-V_1}{2( V_1+V_2)}$$

Разделим на $V_2$:

$$ \frac{ M_H }{2M_{He}}=\frac{ 1-\frac{V_1}{V_2}}{2\left( \frac {V_1}{V_2}+1\right)}$$

$$2\left( \frac {V_1}{V_2}+1\right) M_H=\left(1-\frac{V_1}{V_2}\right)2M_{He}$$

$$ M_H\frac {V_1}{V_2}+ M_{He}\frac {V_1}{V_2}= M_{He}- M_{H}$$

$$\frac {V_1}{V_2}=\frac{ M_{He} - M_{H}}{ M_{He} + M_{H}}=\frac{2-1}{2+1}=\frac{1}{3}$$
Ответ: $\frac{V_1}{V_2}=\frac{1}{3}$.

Задача 3.

Сосуд объемом 2 дм$^3$ разделен на две равные части полупроницаемой перегородкой. В первую половину сосуда введена смесь аргона массой 20 г и водорода массой 2 г, во второй половине - вакуум. Через перегородку может диффундировать только водород. Какое давление установится в первой половине сосуда после окончания процесса диффузии? Во время процесса поддерживалась температура $t = 20^{\circ}$ С. Перегородка неподвижна.

Суммарное давление газов в первой половине в начале процесса:

$$p_1= p_{H1}+ p_{Ar1}$$

Где

$$p_{H1}=\frac{\nu_H RT}{ V_1}$$

$$p_{Ar1}=\frac{\nu_{Ar} RT}{ V_1}$$

$$V_1=\frac{V}{2}=10^{-3}$$

Затем водород проникнет через перегородку, и его давление упадет, станет равным:

$$p_{H2}=\frac{\nu_H RT}{ 2V_1}$$

Тогда давление в той половине, где есть аргон, станет равно:

$$p_2= p_{H2}+ p_{Ar1}=\frac{RT}{V_1}\left(\frac{\nu_H }{ 2}+\nu_{Ar}\right)$$

$$p_2= \frac{RT}{V_1}\left(\frac{m_H }{ 2M_H}+\frac{m_{Ar}}{M_{Ar}}\right)= \frac{8,31\cdot(273+20)}{ 10^{-3}}\left(\frac{2\cdot10^{-3} }{ 2\cdot2\cdot10^{-3}}+\frac{20\cdot 10^{-3}}{40\cdot 10^{-3}}}\right)= \frac{8,31\cdot(293)}{ 10^{-3}}(0,5+0,5)=2,43\cdot 10^6$$

Ответ: $2,4\cdot 10^6$ Па.