Пара интересных задач на уравнение Менделеева-Клапейрона

Задачи из пособия Г.А. Никуловой и А.Н. Москалева (2017 г). По теме «Тепловое равновесие, уравнение состояния идеального газа»

Задача 1.

Средняя квадратичная скорость молекул идеального газа при $0^{\circ}$ $\upsilon_sr=460$ м/с. Какое число молекул содержится в 4 г этого газа?

Решение: запишем квадрат скорости молекул:

$$\upsilon^2=\frac{3RT}{M}$$

Отсюда молярная масса:

$$M=\frac{3RT}{\upsilon^2}$$

Молярная масса, с другой стороны, это произведение числа молекул на их массу:

$$M=m_0N$$

А масса газа равно молярной массе, умноженной на количество вещества:

$$m=\frac{MN}{N_A}$$

Откуда число молекул:

$$N=\frac{mN_A}{M}=\frac{mN_A\upsilon^2}{3RT}=\frac{0,004\cdot6\cdot10^{23}\cdot 460^2}{3\cdot8,31\cdot273}=7,49\cdot10^{22}$$

Ответ: $N=7,49\cdot10^{22}$

Задача 2.

После того, как в комнате протопили печь, температура поднялась с $15^{\circ}$ до $27^{\circ}$. На сколько процентов уменьшилось число молекул в этой комнате?

Давление в комнате постоянно, $p_1=p_2$, поэтому

$$\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}$$

$$V_2=\frac{V_1T_2}{T_1}$$

$$\Delta V=V_2-V_1=V_1\left(\frac{T_2}{T_1}-1\right)$$

$$\frac{\Delta V }{V_1}=\frac{T_2}{T_1}-1=\frac{300}{288}-1=0,0416$$

Объем увеличился и часть воздуха вышла из комнаты, а именно $0,04V_1$, или 4%

Ответ: 4%

Задача 3.

Два одинаковых баллона содержат газ при $t_0=0^{\circ}$. Баллоны соединены узкой горизонтальной трубкой диаметром $D=5$ мм, посередине которой находится капелька ртути. Капелька делит весь сосуд на две части объемами по $V=200$ см$^3$. На какое расстояние $d$ переместится капелька, если один баллон нагреть на $\Delta t=2^{\circ}$С, а другой на столько же охладить? Изменением объемов сосудов пренебречь. Ответ округлите до десятых.

Решение: запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для части сосуда, которую греют, для обоих состояний – до нагрева и после:

$$pV=\nu RT$$

$$pV_1=\nu RT_1$$

Где $T_1=T+2$ К.

Для части сосуда, которую охлаждают, также для начального и конечного состояний:

$$pV=\nu RT$$

$$pV_2=\nu RT_2$$

Где $T_1=T-2$ К.

В принципе, сразу понятно, что процессы изобарные, поэтому

$$\frac{V}{T}=\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}$$

Это перепишем так:

$$\frac{V+\Delta V}{T+2}=\frac{V-\Delta V}{T-2}$$

Раскрывая скобки, получим

$$4V=2\Delta VT$$

$$\Delta V=\frac{2V}{T}=S\Delta h=\frac{\pi D^2 \Delta h}{4}$$

$$\Delta h=\frac{8V}{T \pi D^2}=\frac{8\cdot 200\cdot 10^{-6}}{273\cdot\pi\cdot 0,005^2}=0,0746$$

Ответ: капелька сместится на 7,5 см.