Две задачи с поршнями

Задача 1.

В вертикально расположенном сосуде над и под поршнем находится одинаковое количество молей идеального газа. Поршень может перемещаться без трения. При начальной температуре отношение объемов $\frac{V_1^A}{V_1^B}=n$. Каким будет это отношение, если температуру $T_1$ увеличить в $k$ раз?

Решение. Первое, что приходит в голову, - что сумма объемов до и после -  одна и та же:

$$V_1^A+ V_1^B= V_2^A+ V_2^B$$

Кроме того, условие равновесия поршня тоже можно записать для состояния системы «до» и для состояния «после»:

$$p_1^A+\frac{mg}{S}=p_1^B$$

$$p_2^A+\frac{mg}{S}=p_2^B$$

Или

$$\frac{mg}{S}= p_1^B- p_1^A$$

$$\frac{mg}{S}= p_2^B- p_2^A$$

То есть

$$ p_1^B- p_1^A= p_2^B- p_2^A$$

Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона:

$$p_1^AV_1^A=\nu RT_1=p_1^BV_1^B$$

Значит, исключая центральную часть равенства, можно записать

$$\frac{V_1^A}{V_1^B}=n=\frac{p_1^B}{p_1^A}$$

Для второго состояния

$$p_2^AV_2^A=\nu RT_2=p_2^BV_2^B$$

Значит,

$$\frac{V_2^A}{V_2^B} =\frac{p_2^B}{p_2^A}=x$$

И вто этот $x$ надо найти.

Используем первое уравнение:

$$V_1^A+ V_1^B= V_2^A+ V_2^B$$

$$V_1^A+\frac{V_1^A}{n}= V_2^A+ \frac{V_2^A}{x}$$

$$V_1^A\left(1+\frac{1}{n}\right)= V_2^A\left(1+\frac{1}{x}\right)\ \ \ \ \ \ \ \(*)$$

Используем второе уравнение:

$$ p_1^B- p_1^A= p_2^B- p_2^A$$

$$ np_1^A- p_1^A= xp_2^A- p_2^A$$

$$p_1^A(n-1)= p_2^A(x-1)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (**)$$

Перемножим уравнения (*) и (**):

$$ V_1^A\left(1+\frac{1}{n}\right)\cdot p_1^A(n-1)= V_2^A\left(1+\frac{1}{x}\right)\cdot p_2^A(x-1)$$

Вместо произведений $ p_1^A V_1^A$ и $p_2^A V_2^A$ подставим $\nu R T_1$ и $\nu R T_2$ соответственно:

$$\nu R T_1 \left(1+\frac{1}{n}\right)\cdot A(n-1)= \nu R T_2 \left(1+\frac{1}{x}\right)\cdot (x-1)$$

Упростим:

$$T_1 \left(1+\frac{1}{n}\right)\cdot A(n-1)= T_2 \left(1+\frac{1}{x}\right)\cdot (x-1)$$

$$\frac{n+1}{n}\cdot(n-1)=\frac{T_2}{T_1}\cdot\frac{x+1}{x}\cdot(x-1)$$

$$\frac{n^2-1}{n}=k\cdot\frac{x^2-1}{x}$$

Остаётся решить квадратное уравнение:

$$kn x^2-kn=x(n^2-1)$$

$$ kn x^2- x(n^2-1) -kn=0$$

$$D=(n^2-1)^2+4k^2n^2$$

Корни:

$$x_1=\frac{n^2-1+\sqrt{(n^2-1)^2+4k^2n^2}}{2kn}$$

Ответ: $\frac{V_2^A}{V_2^B}=\frac{n^2-1+\sqrt{(n^2-1)^2+4k^2n^2}}{2kn}$

Задача 2.

Тонкий подвижный теплопроводящий поршень делит герметичный цилиндр постоянного объема на две части. В одной части находится $m=1$ г воды, а в другой – воздух. Начальная температура в цилиндре - $t_0=120^{\circ}$. При медленном охлаждении цилиндра поршень некоторое время остается неподвижным, а затем при температуре $t_1=100^{\circ}$C начинает перемещаться. В конечном состоянии при температуре $t_2=27^{\circ}$C давление воздуха в цилиндре равно $p=0,5$ атм. Определите первоначальный объем, занимаемый воздухом, объем сосуда, и количество воды в парообразном состоянии в конце процесса.

Решение. Сначала вода находится в виде пара. Пар создает давление, равное давлению воздуха. Но при температуре $100^{\circ} C$пар начинает превращаться в воду, его количество уменьшается, а значит, и давление тоже, и поршень сдвигается в сторону той части, где находится пар. Давление пара при $27^{\circ} C$ равно нулю, давление при $100^{\circ} C$ - атмосферное.

Запишем для пара уравнение Менделеева-Клапейрона (это для момента, когда температура пара $100^{\circ} C$):

$$pV=\nu RT$$

$$V=\frac{m}{M}\cdot\frac{RT}{p}=\frac{1}{18}\cdot\frac{8,31\cdot373}{10^5}=0,0017$$

Для воздуха уравнение Менделеева-Клапейрона будет таким (он займет оставшуюся часть объема):

$$p_0(V_c-V)=\nu R T_1$$

Это для начального состояния, а для конечного:

$$\frac{p_0}{2}\cdot V_c=\nu RT_2$$

Разделим эти два последних соотношения:

$$\frac{2(V_c-V)}{ V_c }=\frac{T_1}{T_2}$$

$$2-\frac{2V}{ V_c }=\frac{T_1}{T_2}$$

Подставили значение объема $V$ в литрах, следовательно, и результат получим в литрах:

$$\frac{2\cdot 1,7}{ V_c }=2-\frac{373}{300}$$

$$V_c=\frac{3,4}{0,756}=4,49$$

Ответ: объем сосуда равен примерно 4,5 л, первоначальный объем воздуха – 4,5-1,7=2,8 л, воды в виде пара в конце совсем не останется.