Другое решение задачи про газгольдер

Задача 1.

В сферический газгольдер из стали с плотностью $\rho=7,8$ г/см$^3$ закачан азот при $T=290$ К при давлении 100 атм. Найти массу оболочки, если она составляет удвоенную массу газа. Толщина оболочки 1 см, что гораздо меньше радиуса газгольдера.

Решение. Объем газгольдера

$$V=\frac{4}{3}\pi r^3$$

С другой стороны,

$$V=\frac{mRT}{pM}$$

Из уравнения Менделеева-Клапейрона.

Найдем объем стали, из которой газгольдер сделан. Примем во внимание, что $d<<r$, тогда

$$V_{st}=\frac{4}{3}\pi \left( (r+0,01)^3-r^3\right)$$

Если масса газа $m$, то масса газгольдера $2m$.

$$\frac{2m}{\rho}=\frac{4}{3}\pi \left( (r+0,01)^3-r^3\right)$$

$$m=\frac{2}{3}\rho \pi \left( (r+0,01)^3-r^3\right)$$

Подставим в уравнение Менделеева-Клапейрона:

$$V=\frac{RT}{pM}\cdot \frac{2}{3}\rho \pi \left( (r+0,01)^3-r^3\right)$$

Перепишем иначе:

$$\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{RT}{pM}\cdot \frac{2}{3}\rho \pi \left( (r+0,01)^3-r^3\right)$$

Сократим :

$$r^3=\frac{RT}{2pM}\cdot \rho \left( (r+0,01)^3-r^3\right)$$

Откуда

$$\frac{2pM}{\rho RT}=\frac{(r+0,01)^3}{r^3}-1$$

$$\frac{r+0,01}{r}=\sqrt[3]{ \frac{2pM}{\rho RT}+1}$$

$$\frac{r+0,01}{r}=\sqrt[3]{ \frac{2\cdot 10^7\cdot 0,028}{7800\cdot 8,31 \cdot 290}+1}=1,0098$$

$$\frac{0,01}{r}=0,0098$$

Откуда

$$r=1,017$$

Теперь определяем массу газгольдера:

$$2m=2\rho \cdot V_{st}=2\rho \cdot \frac{2}{3}\pi \left( (r+0,01)^3-r^3\right)$$

$$2m=\frac{4\pi \rho}{3}\cdot \left( (r+0,01)^3-r^3\right)=\frac{4\pi \cdot 7800}{3}\cdot \left( (1,027)^3-1,017^3\right)=1023,8$$

Ответ: 1024 кг