Диссоциация - 1

Степенью диссоциации $\alpha$ называется доля распавшихся молекул изо всех молекул $N_0$,

$$\alpha=\frac{N}{N_0}$$

Коэффициент размножения $\beta$ показывает, во сколько раз выросло число разваливающихся частиц. Молекулы газа могут развалиться на 2 части – тогда коэффициент размножения $\beta=2$, например, если разваливаются двухатомные газы на атомы, а если, например, происходит реакция, в результате которой из трех молекул получилось 2 – то $\beta=\frac{2}{3}$.

Таким образом,

$$N=\alpha N_0\cdot \beta+(1-\alpha)N_0$$

Первое слагаемое -  число частиц, получившееся из развалившихся молекул, второе слагаемое – число не диссоциировавших молекул.

$$N=N_0(\alpha \beta+1-\alpha)$$

Или, если разделим на число Авогадро,

$$\nu =\nu_0(\alpha \beta+1-\alpha)$$

Задача 1.

В объеме 67 л находится кислород ($O_2$) при нормальных условиях. При повышении температуры до $t=2700^{\circ}$C треть молекул диссоциировала. Найти новое давление кислорода.

Решение. Пусть изначально было $x$ молей кислорода. (На самом деле в этой задаче можно точно определить $x$ по уравнению Менделеева-Клапейрона, но это не нужно.) Так как треть молекул распалась, то новое количество вещества (коэффициент размножения здесь $\beta=2$)

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}x\cdot 2=\frac{4}{3}x$$

Для первоначального состояния

$$pV=xRT_0$$

$$x=\frac{pV}{RT_0}$$

Для конечного

$$p_2V=\frac{4}{3}x\cdot RT$$

$$p_2=\frac{4}{3V}x\cdot RT$$

Подставим $x$:

$$p_2=\frac{4}{3V}\cdot RT\cdot \frac{pV}{RT_0}=\frac{4pT}{3T_0}=\frac{4\cdot 10^5\cdot 2973}{3\cdot 273}=14,52\cdot 10^5$$

Ответ: примерно 14,5 атм

Задача 2.

В сосуде содержится 1 моль неона и 2 моль водорода при температуре $T_1=300$ К и давлении $p_1=10^5$ Па. При $T_2=3000$ К давление возросло до $p_2=1,5\cdot 10^6$ Па. Какая доля атомов водорода распалась?

Решение. Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для обоих состояний.

$$p_1V=\nu_1RT_1+\nu_2RT_1$$

$$p_2V=\nu_1 RT_2+\nu_2(1+\alpha)RT_2$$

Здесь $\alpha$ - степень диссоциации, то есть доля распавшихся молекул, $\nu_1$ - количество вещества неона, $\nu_2$ - водорода.

Делим уравнения:

$$\frac{p_2}{p_1}=\frac{T_2}{T_1}\cdot \frac{\nu_1+\nu_2(1+\alpha)}{ \nu_1+\nu_2}$$

$$1+\alpha=\frac{p_2 T_1}{p_1 T_2}\cdot\frac{\nu_1+\nu_2}{\nu_2}-\frac{\nu_1}{\nu_2}$$

$$\alpha=\frac{p_2 T_1}{p_1 T_2}\cdot\frac{\nu_1+\nu_2}{\nu_2}-\frac{\nu_1}{\nu_2}-1$$

$$\alpha=\frac{1,5\cdot 10^6\cdot 300\cdot 3}{10^5\cdot 3000\cdot 2}-\frac{1}{2}-1=2,25-1,5=0,75$$

Ответ: диссоциировало $\frac{3}{4}$ всех молекул водорода.

Предлагаю еще одно решение задачи. Во сколько раз выросло давление? В 15 раз. Температура же выросла в 10 раз. Значит, если бы не диссоциация, то давление тоже выросло бы в 10 раз. Значит, диссоциация дала рост давления в 1,5 раза. Это за счет увеличения количества вещества. То есть из трех молей вещества получилось 4,5 моль. При этом неон одноатомный и не может диссоциировать, следовательно, диссоциировал водород. Его было 2 моль, а стало 3,5 моль (неон из общего количества вещества выбросили). Получается, количество вещества выросло на 1,5 моль. А это значит, что 0,5 моль не диссоциировали, а 1,5 моль диссоциировали – то есть

$$\alpha=\frac{1,5}{2}=0,75$$

Ответ: степень диссоциации 0,75.

Задача 3.

Серный ангидрид $SO_3$ в количестве $\nu_1=1$ моль поместили в сосуд и нагрели до $T=1000$ К, при которой он частично диссоциирует на сернистый ангидрид $SO_2$ и $\frac{1}{2}O_2$ (химиков нервно передернуло), степень диссоциации $\alpha_1=0,2$. Когда же $\nu_2=0,4$ моль серного ангидрида поместили в тот же сосуд, то для достижения того же давления понадобилось нагреть сосуд до $T_2=2000$ К. какова степень диссоциации в этот раз?

Решение. Коэффициент размножения равен 1,5 (из двух молекул вышло 3):

$$2SO_3 \rightarrow 2SO_2+O_2$$

Запишем уравнения Менделеева-Клапейрона для обоих опытов:

$$pV=\nu_1(\frac{3}{2}\alpha_1+1-\alpha_1)=\nu_1(1+\frac{\alpha_1}{2})RT_1$$

$$pV=\nu_2(\frac{3}{2}\alpha_2+1-\alpha_2)=\nu_2(1+\frac{\alpha_2}{2})RT_2$$

Левые части одинаковы, равны и правые:

$$\nu_1 T_1 (1+\frac{\alpha_1}{2}) =\nu_2 T_2 (1+\frac{\alpha_2}{2}) $$

$$1+\frac{\alpha_2}{2}=\frac{\nu_1 T_1 }{\nu_2 T_2 }(1+\frac{\alpha_1}{2})$$

$$\alpha_2=\frac{2\nu_1 T_1 }{\nu_2 T_2 }(1+\frac{\alpha_1}{2})-2$$

$$\alpha_2=\frac{\nu_1 T_1 }{\nu_2 T_2 }(2+\alpha_1)-2=\frac{1\cdot 1000}{0,4\cdot 2000}\cdot 3-2=1,25\cdot 2,2-2=0,75$$

Ответ: степень диссоциации будет выше, чем в первом случае, $\alpha_2=0,75$.

Задача 4.

В сосуде находится смесь азота и водорода. При начальной температуре $T$ азот полностью диссоциирован на атомы, а диссоциацией водорода можно пренебречь. При нагревании до температуры $2T$ оба газа полностью диссоциируют и давление утраивается по сравнению с начальным. Каково отношение масс азота и водорода в смеси?

Решение. Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для первоначальной температуры (индексы 1 относятся к азоту, 2 – к водороду).

$$pV=(2\nu_1+\nu_2)RT$$

И для конечной:

$$3pV=(2\nu_1+2\nu_2)R\cdot 2T$$

Разделим уравнения

$$\frac{2}{3}=\frac{2\nu_1+\nu_2}{2\nu_1+2\nu_2}$$

$$4\nu_1+4\nu_2=6\nu_1+3\nu_2$$

$$\nu_2=2\nu_1$$

Теперь найдем отношение масс:

$$\frac{\nu_1}{\nu_2}=\frac{1}{2}=\frac{m_1}{M_1}\cdot\frac{M_2}{m_2}$$

$$\frac{m_1}{m_2}=\frac{M_1}{2M_2}=\frac{28}{4}=7$$

Ответ: отношение масс газов равно семи.