Динамика в МКТ: поршни с грузами, ускорения

Задача 1.

Чтобы изотермически уменьшить объем газа в $n$ раз, на тяжелый поршень, под которым он находится, надо положить груз $M$. Какой груз надо положить на поршень, чтобы уменьшить объем еще в $k$ раз?

Рисунок к задаче 1

Решение. Запишем уравнение равновесия поршня для первого случая:

$$p_1S=p_0S+m_p g$$

Во втором случае:

$$p_2S=p_0S+m_p g+Mg$$

И в третьем:

$$p_3S=p_0S+m_p g+Mg+mg$$

Вычтем из второго первое:

$$(p_2-p_1)S=Mg$$

Вычтем из третьего второе:

$$(p_3-p_2)S=mg$$

Последние два разделим друг на друга:

$$\frac{p_2-p_1}{p_3-p_2}=\frac{M}{m}$$

Так как температура постоянна, то

$$p_1=p;\ \ \ \   p_2=np;\ \ \ \ p_3=knp$$

Тогда

$$\frac{np-p}{knp-np}=\frac{M}{m}$$

$$\frac{n-1}{n(k-1)}=\frac{M}{m}$$

$$m=\frac{n(k-1)M}{(n-1)}$$

Ответ: $m=\frac{n(k-1)M}{n-1}$.

Задача 2.

Цилиндрический сосуд закрыт массивным поршнем площадью $S$ и при подъеме с ускорением $2g$ объем газа в нем уменьшается в 1,5 раза. Найти массу поршня, если внешнее давление $p_0$.

Рисунок к задаче 2

Решение. При нулевом ускорении условие равновесия поршня

$$pS=m_pg +p_0S$$ 

При наличии ускорения (ось направлена вверх)

$$m_p\cdot 2g=kpS-m_p g-p_0S$$

Подставляем вместо $pS$ во второе уравнение  - первое:

$$m_p\cdot 2g=k(m_pg +p_0S)-m_p g-p_0S$$

$$ m_p\cdot 2g- km_pg+ m_p g= kp_0S-p_0S$$

$$ m_p(2g-kg+g)=(k-1)p_0S$$

$$ m_p=\frac{(k-1)p_0S }{g(3-k)}=\frac{0,5p_oS}{g\cdot \frac{3}{2}}=\frac{p_0S}{3g}$$

Ответ: $ m_p=\frac{p_0S}{3g}$

Задача 3.

Цилиндрический сосуд с газом закрыт подвижным поршнем и стоит вертикально на горизонтальной подставке. Масса сосуда $m$, масса поршня $M$. Подставку убирают. Найти ускорение, с которым начнет падать сосуд.

Рисунок к задаче 3

Решение. Запишем условие равновесия для поршня (сосуд еще на подставке):

$$p_2S=p_1S+Mg$$

Над поршнем давление $p_1$, под поршнем - $p_2$.

Теперь запишем уравнение для самого сосуда:

$$ma=mg+p_2S-p_1S$$

А ведь из первого уравнения $ p_2S-p_1S= Mg$, то есть

$$ ma=mg+Mg$$

Откуда

$$a=g+\frac{M}{m}g$$

Ответ: $a=g+\frac{M}{m}g$

Задача 4.

В горизонтально расположенном цилиндре массивный поршень площадью $S$ вначале удерживают на расстоянии $L_0$ от дна, для чего к нему приходится прикладывать силу $F$. На каком расстоянии от дна поршень будет иметь наибольшую скорость? Температура постоянна.

Рисунок к задаче 4

Решение. Картинки к этой задаче изначально нет. Поэтому непонятно, куда направлена сила. Пусть она направлена наружу, то есть $p_0>p_1$.  В любом случае, скорость максимальна, когда ускорение нулевое. А ускорение нулевое, когда сумма сил равна нулю. А действуют на поршень только сила давления изнутри и снаружи, то есть

$$p=p_0$$

Здесь $p_0$ - давление снаружи, $p$ - давление газа внутри на поршень в исследуемый момент (скорость максимальна).

Тогда «старое» равновесие такое:

$$p_0S=p_1S+F$$

Пусть в исследуемый момент поршень находится на расстоянии $x$ от дна. Тогда по Менделееву-Клапейрону ($p=p_0$)

$$L_0 p_1=x p_0$$

Из предыдущего:

$$p_1=p_0-\frac{F}{S}$$

Подставляем:

$$L_0\left(p_0-\frac{F}{S}\right)=p_0x$$

$$x= L_0\left(1-\frac{F}{S p_0}\right)$$

Так как картинки нет, то внутри скобок может быть как «+» (сила изначально направлена внутрь, ко дну сосуда), так и «-».

Ответ: $x= L_0\left(1\pm\frac{F}{S p_0}\right)$