Закон Дебая и определение числа степеней свободы

Задача 1.

При очень низких температурах молярная теплоемкость многих веществ пропорциональна кубу абсолютной температуры:

$$c_p=k\left(\frac{T}{Q_D}\right)^3$$

(это соотношение иногда называют законом Дебая). Для каменной соли температура Дебая$Q_D=281$ К и $k=1940$ Дж/(моль$\cdot$К). Определить количество теплоты, необходимое для нагревания 3,5 моль этого вещества от температуры 12 К до 38 К.

Решение. Запишем молярную теплоемкость каменной соли при обеих температурах - $T_1=12$ К и $T_2=38$ К:

$$c_{p1}= k\left(\frac{T_1}{Q_D}\right)^3$$

$$c_{p2}= k\left(\frac{T_2}{Q_D}\right)^3$$

Молярная теплоемкость меняется. Так как

$$Q=c_p \nu$$

То при переменной молярной теплоемкости количество теплоты будет определяться как интеграл:

$$Q=\int \limits_{T_1}^{T_2} \frac{k \nu}{Q_D^3}\cdot T^3 dT=\frac{k \nu}{Q_D^3}\cdot\frac{T^4}{4}|\limits_{T_1}^{T_2}=\frac{k \nu}{4Q_D^3}\cdot(T_2^4-T_1^4)$$

$$Q=\frac{1940\cdot3,5}{4\cdot 281^3}\cdot(38^4-12^4)=158$$

Ответ: 158 Дж.

Задача 2.

Чему равно число степеней свободы молекулы газа, при адиабатическом сжатии которого объем уменьшился в 10 раз, а давление увеличилось в 21,4 раза?

Решение. Согласно уравнению адиабаты

$$\frac{p_2}{p_1}=\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma}$$

Подставим численные значения:

$$\frac{21,4}{1}=\left(\frac{10}{1}\right)^{\gamma}$$

Или

$$21,4=10^{\gamma}$$

Откуда

$$\gamma=\lg 21,4=1,33$$

А показатель адиабаты, как известно, это отношение

$$\gamma=\frac{c_p}{c_V}=\frac{i+2}{i}$$

То есть

$$\frac{i+2}{i}=\frac{4}{3}$$

$$3i+6=4i$$

$$i=6$$

Ответ: $i=6$.