Теплоемкость газа при постоянном объеме и давлении

Задача 1.

Определить работу изотермического сжатия газа, совершающего цикл Карно, КПД которого равен 0,4, если работа изотермического расширения равна 8 Дж.

Решение. Цикл Карно состоит из двух изотерм и двух адиабат. На адиабатах газ не получает тепло и не отдает – вообще им не обменивается с внешней средой.

При изотермическом расширении газ не меняет своей внутренней энергии, зато совершает положительную работу – расширился же? Вот эта работа и есть полученное газом количество теплоты.

$$Q_{nagr}=A_1$$

В процессе изотермического сжатия газ совершает отрицательную работу, и не меняет своей внутренней энергии – отдает тепло.

$$Q_{hol}=A_2$$

Теперь запишем КПД:

$$\eta=\frac{A}{ Q_{nagr}}=\frac{ Q_{nagr}- Q_{hol}}{ Q_{nagr}}=\frac{A_1-A_2}{A_1}$$

$$\eta=1-\frac{A_2}{A_1}$$

$$0,4=1-\frac{A_2}{8}$$

$$\frac{A_2}{8}=0,6$$

$$A_2=4,8$$

Ответ: работа изотермического сжатия равна 4,8 Дж.

 

Задача 2.

Вычислить $\gamma$ для газовой смеси, состоящей из $\nu_1=2$ молей кислорода и $\nu_2=3$ молей углекислого газа. Газы считать идеальными.

Решение. При использовании уравнения Майера имеем:

$$\gamma=\frac{c_p}{c_v}=\frac{c_v+R}{c_v}=1+\frac{R}{c_v}$$

То есть если найдем $c_v$, ключик у нас в кармане.

Можно также записать:

$$U=U_1+U_2$$

Или

$$\nu c_v T=\nu_1 c_{v1}T+\nu_2 c_{v2} T$$

И еще раз преобразуем:

$$(\nu_1+\nu_2)c_v=\nu_1 c_{v1}+\nu_2 c_{v2} $$

Так как

$$\frac{c_p}{\gamma}=c_v$$

$$\frac{c_v+R}{\gamma}=c_v$$

То

$$c_v=\frac{R}{\gamma-1}$$

Или, для каждого из газов в смеси:

$$c_{v1}=\frac{R}{\gamma_1-1}$$

$$c_{v2}=\frac{R}{\gamma_2-1}$$

То есть, подставляя это, получим

$$(\nu_1+\nu_2)c_v=\nu_1 \frac{R}{\gamma_1-1}+\nu_2 \frac{R}{\gamma_2-1}$$

Или

$$ c_v=\frac{R}{\nu_1+\nu_2}\cdot \frac{\nu_1(\gamma_2-1)+ \nu_2(\gamma_1-1)}{ (\gamma_2-1) (\gamma_1-1)}$$

Тут уже посчитаем, потому что дальше преобразовывать можно, но уже сложно. Пусть первый газ -  кислород, он двухатомный, $\gamma1=1,4$. Второй газ трехатомный, $i=6$, $\frac{i+2}{i}=\gamma_2=\frac{4}{3}$.

$$ c_v=\frac{R}{2+3}\cdot \frac{2(\frac{4}{3}-1)+ 3(1,4-1)}{ (1,4-1) (\frac{4}{3}-1)}=23,268$$

Рассчитаем $\gamma$:

$$\gamma=1+\frac{R}{c_v}=1+\frac{8,31}{23,268}=1,357 \approx 1,4$$

Ответ: $\gamma=1,4$.

 

Задача 3.

Вычислить удельные теплоемкости $c_p$ и $c_v$ для газовой смеси, состоящей из 7,0 г азота и 20,0 г аргона. Газы идеальные.

Решение. Аналогично предыдущей задаче,

$$\nu c_v T=\frac{\nu_1 RT}{\gamma_1-1}+\frac{\nu_2 RT}{\gamma_2-1}$$

$$ c_v=\frac{\nu_1 R}{(\gamma_1-1)(\nu_1+\nu_2)}+\frac{\nu_2 R}{(\gamma_2-1)(\nu_1+\nu_2)}$$

$$c_p=c_v+R$$

Азота у нас 7 г – то есть $\nu_1=0,25$ моля. Аргона 20 г – то есть $\nu_2=0,5$ моля. Рассчитаем $\gamma$, для азота:

$$\gamma_1=\frac{i+2}{i}=\frac{7}{5}=1,4$$

Для аргона:

$$\gamma_2=\frac{i+2}{i}=\frac{5}{3}=1,66$$

Тогда

$$c_v=\frac{0,25R}{(1,4-1)\cdot 0,75}+\frac{0,5R}{(\frac{5}{3}-1)\cdot 0,75}=15,235$$

$$c_p=23,545$$

У данной смеси молярная масса равна (г/моль):

$$\frac{m_1+m_2}{\nu_1+\nu_2}=\frac{7+20}{0,25+0,5}=\frac{27}{0,75}=36$$

Можно пересчитать наши теплоемкости из Дж/ моль$\cdot$ К в Дж/г$\cdot$ К:

$$c_p*=\frac{c_p}{M}=0,654$$

$$c_v*=\frac{c_v}{M}=0,423$$

Ответ: $c_v*=0,423$ Дж/г$\cdot$ К, $c_p*=0,654$Дж/г$\cdot$ К.

 

Задача 4.

Три моля идеального газа, находившегося при температуре $T_0=273$ К изотермически расширили в 5 раз и затем изохорически нагрели так, что его давление стало равным первоначальному. За весь процесс газу сообщили количество тепла $Q=80$ кДж. Найти $\gamma$ для этого газа.

Решение. В изотермическом процессе совершается положительная работа, и количество тепла, переданное газом тут, равно работе. А в процессе 2-3 (изохорном) наоборот, работы не совершается, а есть только изменение внутренней энергии газа. Тогда:

$$Q=A_{12}+\Delta U_{23}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (*)$$

Рисунок к задаче 3

Рассчитаем работу $A_{12}$:

$$A_{12}=\int_{V_0}^{5V_0} {p dV}=\int_{V_0}^{5V_0} {\frac{\nu R T}{V}dV}=\nu R T \ln V   |_{V_0}^{5V_0}=\nu R T( \ln 5V_0-\ln V_0)=\nu R T_0\ln 5$$

Рассчитаем изменение внутренней энергии в процессе 2-3:

$$\Delta U_{23}=\frac{i}{2}\nu R\Delta T=\frac{i}{2}\nu R\cdot 4T_0$$

Теперь подставим в (*):

$$Q=\nu RT_0\ln 5+2i\nu RT_0$$

$$Q=\nu RT_0(\ln 5+2i)$$

Откуда

$$\ln 5+2i=\frac{Q}{\nu RT_0}=\frac{80000}{3\cdot 8,31\cdot 273}=11,75$$

$$2i=11,75-\ln 5=10,1$$

$$i=5$$

Рассчитаем $\gamma$:

$$\gamma=\frac{i+2}{i}=\frac{7}{5}=1,4$$

Ответ: 1,4.