Теплоемкость газа и уравнение Пуассона

Задача 1.

Трехатомный газ под давлением 240 кПа и температуре $20^{\circ}C$ занимает объем 10 л. Определить его теплоемкость при постоянном давлении.

Решение. Теплоемкость при постоянном давлении равна отношению полученного газом тепла к изменению температуры:

$$c_p=\frac{Q}{\Delta T}=\frac{\Delta U+A}{\Delta T }$$

$$c_p=\frac{\frac{6}{2}\nu R \Delta T+\nu R \Delta T }{\Delta T }$$

В качестве $i$ взяли число 6, так как газ трехатомный.

$$c_p=4\nu R$$

Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона, которое мы запишем для того состояния, условия которого даны,

$$pV=\nu R T$$

Откуда

$$\nu R=\frac{pV}{T}$$

Подставим в нашу теплоемкость:

$$ c_p=4\frac{pV}{T}=\frac{4\cdot 240000\cdot 0,01}{20+273}=32,7$$

Ответ: $c_p=32,7$ Дж/К.

Задача 2.

Один моль некоторого идеального газа изобарически нагрели на $\Delta T=72$ К, сообщив ему количество тепла $Q=1,6$ кДж. Найти приращение его внутренней энергии и величину $\gamma=\frac{c_p}{c_v}$.

Решение. Процесс изобарный. Значит, в нем совершается работа $A=p\Delta V=\nu R\Delta T$, а

$$Q=\Delta U+A$$

Откуда

$$\Delta U=Q-A=Q-\nu R\Delta T$$

С другой стороны,

$$\Delta U=c_v\nu \Delta T$$

Пока оставим это и возьмем уравнение Майера:

$$c_p=c_v+R$$

То есть, с учетом $\gamma=\frac{c_p}{c_v}$,

$$\frac{c_p}{\gamma}=c_v$$

$$\frac{c_v+R}{\gamma}=c_v$$

$$\frac{R}{\gamma}=c_v-\frac{c_v}{\gamma}=c_v\left(\frac{\gamma-1}{\gamma}\right)$$

Наконец,

$$c_v=\frac{R}{\gamma-1}$$

Подставим тогда:

$$\Delta U=\frac{R}{\gamma-1}\cdot \nu \Delta T= Q-\nu R\Delta T $$

$$ R\Delta T\cdot \left(\frac{1}{\gamma-1}+1\right)=Q$$

$$ R\Delta T\cdot\frac{\gamma}{\gamma-1}=Q$$

$$\frac{\gamma}{\gamma-1}=\frac{Q}{ R\Delta T }=\frac{1600}{8,31\cdot 72}$$

$$\frac{\gamma}{\gamma-1}=2,67$$

В итоге

$$\gamma=1,6$$

$$\Delta U=Q-\nu R\Delta T=1600-1\cdot 8,31\cdot 72=1002$$

Ответ: $\Delta U=1002$ Дж, $\gamma=1,6$.

Задача 3.

При адиабатном сжатии давление воздуха увеличили от 50 до 500 кПа. Затем при постоянном объеме температуру понизили до первоначальной. Найти давление в конце процесса.

Решение. В задаче речь о воздухе, это двухатомный газ, $$\gamma=\frac{i+2}{i}=\frac{5+2}{5}=1,4$$

Надо связать давление с температурой. А мы знаем, как записывается уравнение для адиабатного процесса:

$$\frac{p_1}{p_2}=\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{\gamma}$$

Запишем уравнения Менделеева-Клапейрона для точек 1 и 2:

Рисунок к задаче 3

$$p_1V_1=\nu R T_1$$

$$p_2V_2=\nu R T_2$$

Если их друг на друга разделить, то

$$\frac{p_1}{p_2}\cdot \frac{V_1}{V_2}=\frac{T_1}{T_2}$$

Заменим отношение давлений на отношение объемов в соответствии с уравнением Пуассона:

$$\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{\gamma}\cdot \frac{V_1}{V_2}=\frac{T_1}{T_2}$$

Или

$$\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{\gamma-1}=\frac{T_1}{T_2}$$

А теперь обратно заменим на давления отношение объемов:

$$\left(\frac{p_1}{p_2}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}=\frac{T_1}{T_2}$$

Мы связали давления и температуры. Теперь вспомним, что газ возвращали к прежней температуре изохорно:

$$\frac{p_2}{T_2}=\frac{p_3}{T_1}$$

Откуда

$$\frac{T_1}{T_2}=\frac{p_3}{p_2}$$

Тогда

$$p_3=\frac{T_1}{T_2}\cdot p_2=\left(\frac{p_1}{p_2}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}\cdot p_2$$

$$p_3=\left(\frac{1}{10}\right)^{\frac{1,4-1}{1,4}}\cdot 500=260$$

Ответ: давление в конце процесса 260 кПа.