Теплоемкость газа - 5

В статье разбираем задачи на теплоемкость газа.

Задача 1.

На рисунке изображены два вертикальных сообщающихся цилиндрических сосуда. Верх левого сосуда герметично запаян и этот сосуд частично заполнен гелием. Правый сосуд до краев заполнен ртутью так, что часть ртути находится в левом сосуде и гелий заперт ею. Система помещена в вакуум. Гелию начинают медленно сообщать теплоту и продолжают нагревать до тех пор, пока ртуть остается в левом сосуде. Определите удельную теплоемкость гелия в этом сосуде.

К задаче 1

Решение. Гелий при нагреве будет расширяться и выдавливать ртуть в правый сосуд. Ее столб над уровнем однородной жидкости будет уменьшаться. Так как атмосферного давления нет, то давление гелия (оно же – давление столба ртути) будет зависеть прямо от объема: $$p=\frac{\rho g V}{S}$$ И будет расти линейно.

Зависимость давления от объема

Работа равна $$A=\frac{p_0+kp_0}{2}(kV_0-V_0)=\frac{(k-1)(k+1)p_0V_0}{2}=\frac{(k^2-1)p_0V_0}{2}$$ Изменение температуры из закона Менделеева-Клапейрона $$\Delta T=\frac{\Delta(pV)}{\nu R}=\frac{k^2p_0V_0-p_0V_0}{\nu R}=\frac{(k^2-1)p_0V_0}{\nu R}$$ Теплоемкость определяется соотношением (удельная)

$$C=\frac{Q}{m\Delta T}=\frac{A+\Delta U}{m\Delta T}=\frac{1}{m}\left(\frac{A}{\Delta T}+\frac{3}{2}\nu R\right)= \frac{1}{m}\left(\frac{\nu R}{2}+\frac{3}{2}\nu R\right)=\frac{2\nu R}{m}=\frac{2R}{M}$$

Ответ: $C=\frac{2R}{M}$.

Задача 2.

В массивном металлическом цилиндре высотой $H=1$ м, закрытом сверху подвижным поршнем, находится идеальный газ. Сверху на поршень аккуратно поставили гирю, отчего поршень сразу же опустился на $\Delta x_1=2,5$ см. Через продолжительное время оказалось, что поршень опустился еще на $\Delta x_2=1$ см. Определите молярную теплоемкость газа при постоянном объеме $C_v$. Температура помещения постоянна, утечка газа отсутствует. Решение. Когда гирю поставили на поршень, газ мгновенно (адиабатически) сжался, и потому нагрелся. Затем газ остывает до своей прежней температуры и поэтому поршень еще опускается: газ сжимается изобарно. Для адиабаты: $$pv^{\gamma}=const~~~~~~~~~~~~~~~(**)$$ $$\gamma=\frac{C_p}{C_v}=\frac{C_v+R}{C_v}$$ По закону Менделеева-Клапейрона $$pV=\nu RT$$ $$p=\frac{\nu RT }{V}$$ При подстановке этого давления в (**) получим $$TV^{\gamma-1}=const$$ Тогда, сокращая на площадь поршня, получим $$T_1 H^{\gamma-1}=T_2(H-x_1)^{\gamma-1}$$ А для изобары $$\frac{H-x_1}{T_2}=\frac{H-x_1-x_2}{T_1}$$ Вынесем за скобку $ H^{\gamma-1}$ $$ H^{\gamma-1}\left(1-\frac{x_1}{H}\right)^ {\gamma-1}= H^{\gamma-1}\left(1-(\gamma-1)\frac{x_1}{H}\right)$$ $$\frac{1}{H-x_1}=\frac{1-(\gamma-1)\frac{x_1}{H}}{H-x_1-x_2}$$ При последнем переходе использовано упрощение $(1+x)^n=1+nx$. $$ H-x_1-x_2=(H-x_1)\left(1-(\gamma-1)\frac{x_1}{H}\right)$$ $$\gamma-1=\frac{x_2H}{(H-x_1)x_1}=\frac{2}{5(1-0,025)}$$ Пренебрежем величиной 0,025 по сравнению с единицей, тогда $$\gamma=\frac{7}{5}$$ $$\frac{C_p}{C_v}=\frac{7}{5}$$ $$C_v=\frac{5}{2}R$$ Ответ: $C_v=\frac{5}{2}R$