Задачи молекулярно-кинетической теории ЗФТШ -4

В ЗФТШ очень хорошая подготовка. И по математике, и по физике. Решайте задачи ЗФТШ - и прокачаетесь в физике!

Задача. Один моль гелия расширяется так, что его давление линейно зависит от объёма. Температуры в исходном и конечном состояниях одинаковы. Вычислите работу, совершаемую газом, если известно, что в ходе рассматриваемого процесса разность между максимальной и минимальной температурой равна $\Delta T$, а объём гелия увеличивается в $k$ раз, причём $k >1$.

Рисунок к задаче

Решение.

Работа будет равна

$$A=\frac{p_0+\frac{p_0}{k}}{2}(kV_0-V_0)$$

$$A=\frac{p_0V_0}{2k}(k-1)(k+1)$$

$$A=\frac{p_0V_0}{2k}(k^2-1)$$

Теперь наша задача выразить работу через те величины, которые даны.

Запишем уравнение прямой как

$$\frac{p_0-p}{V-V_0}=\frac{ p_0-\frac{p_0}{k}}{kV_0-V_0}=\frac{p_0}{kV_0}$$

$$\frac{p_0-p}{V-V_0}=\frac{p_0}{kV_0}$$

$$ (p_0-p) kV_0=p_0(V-V_0)$$

Раскроем скобки

$$p_0kV_0-pkV_0=p_0V-p_0V_0$$

Выражаем $p$:

$$p=\frac{ p_0kV_0+ p_0V_0- p_0V }{kV_0}$$

$$p=p_0\frac{k+1}{k}-\frac{p_0V}{kV_0}$$

$$p+\frac{p_0V}{kV_0}= p_0\frac{k+1}{k}$$

Продифференцируем по объему:

$$\frac{dp}{dV}+\frac{p_0}{kV_0}=0$$

$$\frac{dp}{dV}=-\frac{p_0}{kV_0}$$

Теперь запишем уравнение Менделеева-Клапейрона и тоже продифференцируем по объему:

$$p V=\nu R T$$

$$\frac{dp}{dV}\cdot V+p=\nu R\frac{dT}{dV}$$

Теперь подставим сюда ранее полученное:

$$-\frac{p_0}{kV_0}\cdot V+ p_0\frac{k+1}{k}-\frac{p_0V}{kV_0}=\nuR\frac{dT}{dV}$$

Производная равна нулю при максимальном значении объема:

$$-\frac{2p_0}{kV_0}\cdot V+ p_0\frac{k+1}{k}=0$$

$$V_{max}=\frac{k+1}{2}V_0$$

Подставляем в выражение для давления:

$$p_{max}= p_0\frac{k+1}{k}-\frac{p_0}{kV_0}\cdot \frac{k+1}{2}V_0= p_0\frac{k+1}{2k}$$

Для начального состояния

$$p_0 V_0=\nu R T_0$$

Для максимального объема и соответствующего ему давления:

$$p_{max} V_{max}=\frac{p_0V_0}{k}\cdot\left(\frac{k+1}{2}\right)^2$$

С другой стороны,

$$ p_{max} V_{max}=\nu R (T_0+\Delta T)$$

Приравнивая правые части, получаем:

$$\frac{p_0V_0}{k}\cdot\left(\frac{k+1}{2}\right)^2=\nu R (T_0+\Delta T)$$

$$\nu R\Delta T=p_oV_0\left(\frac{1}{k}\cdot\left(\frac{k+1}{2}\right)^2-1\right)=\frac{p_0V_0}{4k}(k-1)^2$$

Вернемся к работе:

$$A=\frac{p_0V_0}{4k}(k-1)^2=\frac{k^2-1}{2k}\cdot\frac{\nu R\Delta T \cdot 4k}{(k-1)^2}$$

$$A=\frac{2\nu R\Delta T \cdot (k^2-1)}{(k-1)^2}=2\nu R\Delta T \frac{k+1}{k-1} $$

Ответ: $A=2\nu R\Delta T \frac{k+1}{k-1} $