Циклы и температуры в их различных точках

Задача 1.

С идеальным одноатомным газом проводят циклический процесс. Расширение газа можно описать графиком в виде дуги окружности 1-2 с центром в начале координат на $pV$диаграмме. $p_0$ и $V_0$ – некоторые фиксированные давление и объем. Найдите отношение температур в точках 1 и 2.

Решение. Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона

$$T\sim pV$$

$$T_1\sim \frac{\sqrt{3}}{2}R\cdot \frac{1}{2}R=\frac{\sqrt{3}}{4}R^2$$

Также

$$T_2 \sim \sqrt{\frac{1+\cos 30^{\circ}}{2}}\cdot R\cdot \sqrt{\frac{1-\cos 30^{\circ}}{2}}\cdot R$$

$$T_2=\frac{\sqrt{1-\cos^2 30^{\circ}}}{2}\cdot R^2=\frac{R^2}{4}$$

Тогда

$$\frac{T_1}{T_2}=\sqrt{3}$$

Ответ: $\frac{T_1}{T_2}=\sqrt{3}$.

Задача 2.

На рисунке представлена $TV$ –диаграмма цикла, в котором участвует постоянное количество одноатомного идеального газа. КПД этого цикла равен 8 %. Известно, что температура в состоянии 4 во столько же раз больше температуры в состоянии 2, во сколько последняя больше температуры в состоянии 1. $T_1=250$ К, найти $T_4$.

Решение. Процессы 12 и 34 – изохорные, а процессы 23 и 41 – изобарные. Перерисуем цикл в осях $pV$ – получим прямоугольник.

По условию $T_4=aT_2$, $T_2=aT_1$. Поэтому

$$T_4=a^2T_1$$

Значит,

$$T_3=a^2T_2=a^3T_1$$

Работа в цикле

$$A=A_{23}-A_{41}=\nu R(T_3-T_2)-\nu R(T_4-T_1)$$

$$A=\nu R (a^3T_1-aT_1)-\nu R(a^2T_1-T_1)$$

$$A=\nu R a T_1 (a^2-1)-\nu R T_1 (a^2-1)$$

$$A=\nu R  T_1 (a^2-1)(a-1)$$

Газ получает тепло в процессах 12 и 23:

$$Q=Q_{12}+Q_{23}=\frac{3}{2}\nu R (T_2-T_1)+\frac{5}{2}\nu R (T_3-T_2)$$

$$Q=\frac{3}{2}\nu R (aT_1-T_1)+\frac{5}{2}\nu R (a^3T_1-aT_1)$$

$$Q=\frac{3}{2}\nu R T_1 (a-1)+\frac{5}{2}\nu R aT_1 (a^2-1)$$

$$Q=\frac{\nu RT_1}{2}(a-1)(3+5a(a+1))$$

По условию КПД – 8%:

$$\eta=\frac{A}{Q}=\frac{\nu R  T_1 (a^2-1)(a-1)}{ \frac{\nu RT_1}{2}(a-1)(3+5a(a+1))}=\frac{2(a^2-1)}{ 3+5a(a+1)}=0,08$$

Решим уравнение:

$$\frac{a^2-1}{ 3+5a+5a^2}=0,04$$

$$a^2-1=0,12+0,2a+0,2a^2$$

$$0,8a^2-0,2a-1,12=0$$

$$4a^2-a-5,6=0$$

$$a=1,315$$

$$T_4=a^2T_1=1,315^2\cdot 250=432,2$$

Ответ: $T_4=432$ К.