КПД сложных циклов

Задача 1.

На рисунке показаны графики циклических процессов, происходящих с идеальным одноатомным газом. КПД цикла 1-2-3-1 равен $\eta_1=0,6$, а КПД цикла 1-3-4-1 равен $\eta_2=0,4$. Определите КПД цикла 1-2-3-4-1.

Рисунок к задаче 1

Решение. В цикле 1-2-3-1 газ получает теплоту в процессе 1-2-3, а отдает в процессе 3-1. Поэтому его КПД

$$\eta_1=\frac{Q_{123}-Q_{13}}{Q_{123}}=1-\frac{ Q_{13}}{ Q_{123}}$$

В цикле 1-3-4-1 газ получает теплоту в процессе 1-3, а отдает в процессе 3-4-1:

$$\eta_2=\frac{Q_{13}-Q_{143}}{Q_{13}}=1-\frac{ Q_{143}}{ Q_{13}}$$

В большом цикле газ получает теплоту в процессе 1-2-3, а отдает в процессе 3-4-1:

$$\eta=\frac{Q_{123}-Q_{143}}{Q_{123}}=1-\frac{ Q_{143}}{ Q_{123}}$$

Таким образом,

$$\eta_1=1-\frac{ Q_{13}}{ Q_{123}}=0,6$$

$$\frac{ Q_{13}}{ Q_{123}}=0,4$$

$$\eta_2=1-\frac{ Q_{143}}{ Q_{13}}=0,4$$

$$\frac{ Q_{143}}{ Q_{13}}=0,6$$

То есть

$$ Q_{123}=\frac{ Q_{13}}{0,4}$$

А

$$ Q_{143}=0,6 Q_{13}$$

Подставим в $\eta$:

$$\eta=1-\frac{ Q_{143}}{ Q_{123}}=1-\frac{0,6 Q_{13}}{\frac{ Q_{13}}{0,4}}$$

$$\eta=0,76$$

 Ответ: $\eta=0,76$

Задача 2.

Определите работу, совершенную газом количеством вещества 1 моль при переходе из состояния 1 в состояние 4. Температура газа в состоянии 1 равна $T_1=300$ К и $p_2=2p_1$

Рисунок к задаче 2

Решение.

В состоянии 3 объем вдвое больше, чем в состоянии 1 (так как давление вдвое меньше, а температура та же). Так как зависимость 32 – прямая пропорциональность, то $T_4=600$ К. Перерисуем в оси $pV$

Перерисовали в оси pV

Объем растет вдвое в процессе 1-2, а затем еще вдвое – в процессе 3-4. Пусть произведение

$$p_1V_1=\nu RT_1$$

Для состояния 1:

$$p_2V_1=2p_1V_1=2\nu RT_1$$

Для состояния 2:

$$p_2V_2=2p_1\cdot 2V_1=4\nu RT_1$$

Работа в процессе 1-2

$$A_{12}=p_2V_2-p_2V_1=4\nu RT_1-2\nu RT_1=2\nu RT_1$$

Для состояния 4:

$$p_1V_4=p_1\cdot 4V_1=4\nu RT_1$$

Для состояния 3:

$$p_1V_2=p_1\cdot 2V_1=2\nu RT_1$$

Работа в процессе 3-4:

$$A_{34}=p_1V_4-p_1V_2=4\nu RT_1-2\nu RT_1=2\nu RT_1$$

$$A=A_{12}+A_{34}=4\nu RT_1=4\cdot1\cdot8,31\cdot300=9972$$

Ответ: искомая работа составляет примерно 10 кДж.