Циклы с адиабатами и изотермами: задачи Сириуса

Задача 1.

Тепловая машина работает по замкнутому циклу, состоящему из изобары 1−2, адиабаты 2−3 и изотермы 3−1. Известно, что в процессе изотермического сжатия от газа отводится тепло $Q$, а работа тепловой машины за цикл равна $A=1,5Q$. Найдите КПД цикла. Ответ запишите в процентах, округлив до целого числа.

Рисунок к задаче 1

Решение. Так как в процессе 3-1 не меняется температура, то изменения внутренней энергии газа на этом участке нет. А значит, все отведенное тепло на этом участке – это работа в процессе 3-1. Работа за цикл – это площадь цикла:

Работа как площадь под графиком

Значит, вся площадь под процессами 1-2 и 2-3 - $2,5Q$.

Газ получал тепло в процессе 1-2:

$$Q_{pol}=Q_{12}=A_{12}+\Delta U_{12}$$

В процессе 1-2 внутренняя энергия растет, в процессе 2-3 – убывает (за ее счет производится работа), а в процессе 3-1 – не меняется. Но это означает, что

$$\Delta U_{12}=\mid \Delta U_{23}\mid$$

Процесс 2-3 – адиабата, в нем

$$A_{23}=\mid \Delta U_{23}\mid=\Delta U_{12}$$

Тогда

$$Q_{pol}=A_{12}+\Delta U_{12}= A_{12}+ A_{23}=2,5Q$$

Теперь можно и КПД посчитать:

$$\eta=\frac{A_Z}{ Q_{pol}}=\frac{1,5Q}{2,5Q}=0,6$$

Ответ: 60%

 

Задача 2.

Идеальный двухатомный газ совершает цикл, состоящий из двух изобар и двух адиабат. Найдите КПД цикла, если работа, совершённая над газом при изобарическом сжатии, в три раза меньше работы, совершённой газом при изобарическом расширении. Ответ запишите в процентах, округлив до целого числа.

Рисунки к задаче 2

Решение. Так как газ двухатомный, то $i=5$. Поэтому для обеих изобар

$$\Delta U_{12}=\frac{5}{2}A_{12}$$

$$\Delta U_{34}=\frac{5}{2}A_{34}$$

Если $\mid A_{34}\mid=A$, то $A_{12}=3A$,

$$\Delta U_{12}=\frac{5}{2}\cdot 3A=7,5A$$

$$\Delta U_{34}=\frac{5}{2}\cdot A=2,5A$$

Тогда полученное за цикл количество теплоты равно

$$Q_{12}= A_{12}+\Delta U_{12}=10,5A$$

А отданное

$$Q_{34}= A_{34}+\Delta U_{34}=3,5A$$

Определяем КПД:

$$\eta=\frac{ Q_{12}- Q_{34}}{ Q_{12}}=\frac{7A}{10,5A}=0,67$$

Ответ: 67%

 

Задача 3.

Моль гелия совершает работу 760 Дж в замкнутом цикле, состоящем из изобарического расширения, изохоры и адиабатического процесса. Сколько тепла подводится к газу в изобарическом процессе, если разность максимальной и минимальной температур гелия в цикле равна 455 К? Ответ запишите в кДж, округлив до сотых. Универсальная газовая постоянная $R=8,31$ Дж/(моль$\cdot$K).

Решение.

Рисунок к задаче 3

Понятно, что максимальной будет температура в точке 2. На изобаре газ тепло получает, на изохоре – отдает. На изохоре работа не совершается  - значит, отданное тепло – изменение внутренней энергии:

$$Q_{23}=\Delta U_{23}$$

В адиабатном процессе 31 нет подвода тепла, газ совершает отрицательную работу – его внутренняя энергия увеличивается. Значит, самая низкая температура у газа в точке 3:

$$\mid \Delta T_{23}\mid=T_2-T_3=455$$

По рисунку видно, что $A_{12}-\mid A_{31} \mid=760$ Дж.

Определимся с тем, что ищем: полученное тепло $Q_{12}$.

За цикл получено и отдано:

$$A_{12}+\Delta U_{12}-\Delta U_{23}-\mid A_{31} \mid=0$$

Тогда

$$\Delta U_{23}=\frac{3}{2}\nu R \Delta T_{23}=\frac{3}{2}\cdot 1\cdot 8,31\cdot 455=5672$$

А это – отданное тепло. Отданное тепло в сумме с работой за цикл и есть то, что получено:

$$Q_{12}=\Delta U_{23}+ (A_{12}-\mid A_{31} \mid)=5672+760=6432$$

Ответ: 6,43 кДж.

 

Задача 4.

Моль гелия расширяется изобарически, совершая работу 3,4 Дж. Затем его температуру изохорически уменьшают, и, наконец, гелий сжимают адиабатически, возвращая в начальное состояние. Найдите КПД цикла, если в адиабатическом процессе над газом была совершена работа 1,7 Дж. Ответ дайте в процентах, округлив до целого числа.

Решение.

Рисунок к задаче 4

Площадь прямоугольника 1-2-B-A равна 3,4 Дж, а площадь фигуры 1-3-B-A – 1,7 Дж. Значит, площадь цикла 1-2-3 тоже 1,7 Дж. Это работа в цикле $A_Z$. А полученное тепло можно найти из работы 1-2 (для гелия $i=3$):

$$Q_{12}= A_{12}+\Delta U_{12}= A_{12}+ \frac{3}{2}A_{12}= \frac{5}{2}A_{12}$$

$$ Q_{12}=2,5\cdot 3,4$$

Тогда КПД цикла:

$$\eta=\frac{A_Z}{ Q_{12}}=\frac{1,7}{2,5\cdot 3,4}=\frac{1}{5}=0,2$$

Ответ: 20%

 

Задача 5.

Идеальный газ используется как рабочее тело в тепловой машине, работающей по циклу 1−2−3−1, состоящему из адиабатического расширения 1−2, изотермического сжатия 2−3 и участка 3−1 линейной зависимости давления от объёма. За цикл машина совершает работу 100 Дж, КПД цикла равен 0,4. Найдите работу, совершаемую над газом в изотермическом процессе за один цикл. Ответ дайте в Дж, округлив до целого числа.

Рисунок к задаче 5

Решение. Так как

$$\eta=\frac{A_Z}{ Q_{pol}}$$

То $ Q_{pol}=250$ Дж. Тогда $Q_{otd}= Q_{pol}- A_Z=250-100=150$ Дж. Но в процессе 2-3 нет изменения внутренней энергии, поэтому вся отданная теплота – это модуль работы газа в этом процессе.

Ответ: 150 Дж.

 

Задача 6.

Одноатомный идеальный газ участвует в циклическом процессе, показанном на рисунке. На участке 1−2 газ совершает работу $A_{12}=1200$ Дж. Участок 3−1 является адиабатой. Количество теплоты, отданное газом за цикл холодильнику, равно $\mid Q\mid=4000$ Дж. Количество вещества газа в ходе процесса не меняется. Найдите КПД цикла. Ответ дайте в процентах, округлив до десятых.

Рисунок к задаче 6

Решение. Заметим, что процесс 1-2 – прямая пропорциональность. Поэтому давление в точке 2 равно $2p_0$. Если работа в процессе 1-2 равна 1200 Дж, то

$$A_{12}=\frac{p_0+2p_0}{2}\cdot (2V_0-V_0)=1,5p_0V_0$$

Или

$$p_0V_0=\frac{1200}{1,5}=800$$

Определим изменение внутренней энергии в процессе 1-2:

$$\Delta U_{12}=\frac{3}{2}\cdot 2p_0\cdot 2V_0-\frac{3}{2}\cdot p_0\cdot V_0=4,5p_0V_0$$

Тогда

$$Q_{12}= A_{12}+\Delta U_{12}=1,5p_0V_0+4,5p_0V_0=6p_0V_0=4800$$

Получил 4800 Дж, отдал 4000 Дж – работа за цикл равна 800 Дж.

Определяем КПД:

$$\eta=\frac{A_Z}{Q_{pol}}=\frac{800}{4800}=0,17$$

Ответ: 17%.

Задача 7.

С одноатомным идеальным газом производят циклический процесс, состоящий из изохоры 1−2, адиабаты 2−3 и изобары 3−1. Известно, что при изобарическом сжатии объем газа уменьшается в n=8 раз. Определите КПД цикла. Ответ дайте в процентах, округлив до десятых.

Рисунок к задаче 7

Решение. Сведений очень мало. Поэтому вспомним, что такое адиабатический процесс и его уравнение:

$$p_2V_2^n=p_1V_1^n$$

Пусть $V_1=V_2=V$, а $V_3=8V$. Газ одноатомный, у него $i=3$, $c_v=\frac{3}{2}R$, $c_p=\frac{5}{2}R$, $n=\frac{c_v}{c_p}=\frac{5}{3}=1,6$.

Тогда

$$p_2V^{\frac{5}{3}}=p_1(8V)^{\frac{5}{3}}$$

Откуда

$$\frac{p_2}{p_1}=8^{\frac{5}{3}}=32$$

Полученное количество теплоты – это изменение внутренней энергии в процессе 1-2, так как работа в нем не совершается:

$$Q_{pol}=\frac{3}{2}(32p_1V-p_1V)=\frac{93}{2}p_1V$$

Отдавал теплоту газ в процессе 3-1, это изобарный процесс, поэтому

$$Q_{otd}=Q_{31}=\frac{5}{2}A_{31}=\frac{5}{2}\cdot p_1\cdot 7V=\frac{35}{2}p_1V$$

Определяем КПД:

$$\eta=1-\frac{ Q_{otd}}{ Q_{pol}}=1-\frac{35}{93}=\frac{58}{93}=0,6236$$

Ответ: 62,4%