Задача с вращением пробирки со ртутью

Задача.

Стеклянная трубка, запаянная с одного конца, расположена горизонтально. В трубке находится воздух, отделенный от атмосферы столбиком ртути длиной $l$. Длина трубки $2l$ длина столбика воздуха $\frac{l}{2}$. Атмосферное давление $p_0$. На какое расстояние сместится ртуть в трубке, если ее вращать вокруг вертикальной оси, проходящей через открытый конец, с угловой скоростью $\omega=\sqrt{\frac{g}{l}}$

Решение. Запишем уравнение по второму закону  Ньютона для столбика ртути.

$$ma_n=pS-p_0S$$

Распишем нормальное ускорение:

$$m\omega^2R=pS-p_0S$$

«Раскроем» массу:

$$\rho V\omega^2R=pS-p_0S$$

Объем – произведение длины столбика на сечение:

$$\rho lS\omega^2R=S(p-p_0)$$

$$\rho l\omega^2R=p-p_0$$

Для изотермического процесса для воздуха, зажатого ртутью, запишем:

$$pV=p_0V_0$$

$$p=\frac{ p_0V_0}{V}$$

Подставляем давление в уравнение по второму закону Ньютона:

$$\rho l\omega^2R=\frac{ p_0V_0}{V}-p_0=p_0\left(\frac{ V_0}{V}-1\right)= p_0\left(\frac{ \frac{l}{2}}{x}-1\right)$$

Определяемся с радиусом, это расстояние от оси вращения до середины столбика ртути:

$$R=2l-\left( \frac{l}{2}+x\right)=\frac{3l}{2}-x$$

Подставляем радиус:

$$\rho l\omega^2\cdot\left(\frac{3l}{2}-x\right)= p_0\left(\frac{ \frac{l}{2}}{x}-1\right)$$

Раскрываем скобки, домножаем одновременно на $x$:

$$\rho l\omega^2\cdot\frac{3lx}{2}-\rho l\omega^2\cdot x^2=p_0\frac{l}{2}-p_0x$$

Убеждаемся, что уравнение квадратное:

$$-\rho l\omega^2x^2+\left(p_0+\rho l\omega^2\cdot\frac{3l}{2} \right) x-p_0\frac{l}{2}=0$$

Находим корни традиционно, с помощью дискриминанта:

$$x=\frac{-p_0-\rho l\omega^2\cdot\frac{3l}{2}\pm \sqrt{\left(-p_0-\rho l\omega^2\cdot\frac{3l}{2}\right)^2-\frac{4p_0l}{2}\cdot\rho l\omega^2}}{-2\rho l\omega^2}$$

Упростим немного, а именно подставим $\omega^2l=g$:

$$x=\frac{-p_0-\rho g\cdot\frac{3l}{2}\pm \sqrt{\left(-p_0-\rho g\cdot\frac{3l}{2}\right)^2-2p_0l\cdot\rho g}}{-2\rho g}$$

Меняем знак (плюс или минус перед корнем – по-прежнему непонятно):

$$x=\frac{p_0}{2\rho g}+\frac{3l}{4}\mp\sqrt{\left(-\frac{p_0}{2\rho g}-\frac{3l}{4}\right)^2-\frac{2p_0l}{4\rho g}}$$

Раскрываем скобки под корнем:

$$x=\frac{p_0}{2\rho g}+\frac{3l}{4}\mp\sqrt{\frac{9l^2}{16}+\frac{l}{4}\cdot\frac{p_0}{\rho g}+\frac{p_0^2}{4\rho^2 g^2}}$$

Расстояние от края пробирки было равно $l$, а стало - $x+\frac{l}{2}$. То есть изменилось на $x+\frac{l}{2}-l$, или на $\frac{l}{2}-x$. Определяем это изменение, и это уже будет ответом. Вот только тут и понятен знак перед корнем:

 Ответ: $\frac{l}{2}-x=-\frac{p_0}{2\rho g}-\frac{l}{4}+\sqrt{\frac{9l^2}{16}+\frac{l}{4}\cdot\frac{p_0}{\rho g}+\frac{p_0^2}{4\rho^2 g^2}}$