Задача о трубке с паром и штативе

Задача.

Металлическую трубку площадью поперечного сечения $S=10$ см$^2$ и длиной около полутора метров опустили в воду и закрепили на штативе в вертикальном положении так, чтобы верхний край трубки находился над поверхностью воды на высоте $h=10$ см. Температуры воды и воздуха одинаковы и равны $t_0=7^{\circ}$С, атмосферное давление $p_0=10^5$ Па. Трубку закрыли сверху легкой герметичной крышкой, закрепив ее, и нагрели воду до температуры $t_1=100^{\circ}C$.На какую величину $\Delta F$ изменилась при этом сила, с которой трубка действует на штатив? Давлением насыщенных паров воды при температуре $t_0$, а также тепловым расширением воды и стенок трубки пренебречь.

Решение. При нагреве выросло давление оставшегося под трубкой воздуха. Оно равно давлению сухого воздуха плюс давление паров $p_0$. Тогда, с одной стороны, давление паров плюс давление сухого воздуха, а с другой стороны – давление атмосферы и давление столба жидкости высотой $h_1-h$ (рисунок справа):

$$p+p_0=\rho g(h_1-h)+p_0$$

$$p=\rho g(h_1-h)$$

Для сухого воздуха

$$\frac{p_0hS}{T_0}=\frac{ph_1S}{T_1}$$

$$\frac{p_0h}{T_0}=\frac{h_1}{T_1}\cdot \rho g(h_1-h)$$

Перепишем так:

$$h_1^2\cdot \frac{\rho g}{T_1}-\frac{h_1}{T_1}\rho g h - \frac{p_0 h}{T_0}=0$$

$$ h_1^2-h_1h-\frac{p_0 h T_1}{\rho g T_0}=0$$

Это квадратное уравнение. Его корни:

$$h_1=\frac{h\pm\sqrt{h^2+\frac{4p_0hT_1}{\rho g T_0}}}{2}=\frac{0,1+\sqrt{0,01+\frac{4\cdot10^5\cdot0,1\cdot 373}{1000\cdot 10\cdot 280}}}{2}=1,21$$

Теперь можно определить изменение силы, то, о чем просили в задаче:

$$\Delta F=pS=\rho g (h_1-h)S=1000\cdot 10\cdot(1,21-0,1)\cdot 10\cdot 10^{-4}=11,1$$

Ответ: сила возросла на 11,1 Н.