Трубочки со ртутью и запертый воздух

Задача 1.

Посередине откачанной и запаянной с обоих концов горизонтальной трубки длиной 1 м находится столбик ртути длиной 20 см. Если трубку поставить вертикально, столбик ртути сместится на 10 см. До какого давления была откачана трубка?

Решение.

Рисунок к задаче 1

Процесс будет изотермическим и для газа в верхней части трубки, и для газа в нижней:

$$p_1V_1=p_3V_3$$

$$p_1V_1=(p_3+\rho g h)V_2$$

 

То есть

$$p_3=\frac{p_1V_1}{V_3}$$

Подставим во второе уравнение:

$$p_1V_1= \frac{p_1V_1V_2}{V_3}+\rho g h V_2$$

$$p_1=\frac{p_1V_2}{V_3}+\rho g h \cdot\frac{V_2}{V_1}$$

Преобразуем:

$$p_1\left(1-\frac{V_2}{V_3}\right)= \rho g h \cdot\frac{V_2}{V_1}$$

$$p_1\left(1-\frac{l_2}{l_3}\right)= \rho g h \cdot\frac{l_2}{l_1}$$

Теперь, если давление в мм рт. ст, то можно еще упростить:

$$p_1\left(1-\frac{l_2}{l_3}\right)= h \cdot\frac{l_2}{l_1}$$

И подставить численные данные (в мм):

$$p_1\left(1-\frac{300}{500}\right)= 200 \cdot\frac{300}{400}$$

$$p_1\cdot \frac{2}{5}=150$$

$$p_1=375$$

Ответ: первоначальное давление 375 мм рт.ст.

 

Задача 2.

В запаянной с одного конца длинной горизонтальной стеклянной трубке постоянного сечения (см. рисунок) находится столбик воздуха длиной $l_1 = 30$ см, запертый столбиком ртути. Если трубку поставить вертикально отверстием вверх, то длина воздушного столбика под ртутью будет равна $l_2 = 25$ см. Какова длина ртутного столбика? Атмосферное давление 750 мм рт. ст. Температуру воздуха в трубке считать постоянной.

Рисунок к задаче 2

Решение.

Запишем закон Бойля-Мариотта для воздуха, запертого в трубке.

$$p_0V_1=(p_0+\rho g h)V_2$$

Или

$$ p_0h_1=(p_0+\rho g h)h_2$$

А если давление исчислять в мм рт. ст, то еще проще:

$$ p_0h_1=(p_0+ h)h_2$$

$$ 750\cdot 300=(750+ h)\cdot 250$$

$$750+h=900$$

Откуда

$$h=150$$

Ответ: высота столбика ртути 150 мм.

 

 

Задача 3.

В горизонтально расположенной трубке, запаянной с одного конца, находится столбик ртути длиной $l$, запирающий столбик воздуха. Трубку поворачивают вертикально открытым концом вверх и нагревают воздух в ней на $\Delta T$. При этом объем воздуха в трубке не изменяется. Давление наружного воздуха в комнате $p_0$.  Найти температуру воздуха в комнате.

Решение.

Для воздуха, запертого ртутью, запишем два раза закон Менделеева-Клапейрона: для начального и подогретого состояний.

$$p_0V=\nu RT$$

$$(p_0+\rho g h)V=\nu R (T+\Delta T)$$

Вычитаем из второго первое:

$$\rho g hV=\nu R\Delta T$$

Откуда

$$V=\frac{\nu R\Delta T }{\rho g h }$$

Из первого уравнения

$$T=\frac{p_0V}{\nu R}$$

Подставим сюда найденный объем:

$$T=\frac{p_0\Delta T }{\rho g h}$$

Ответ: $T=\frac{p_0\Delta T }{\rho g h}$

 

Задача 4.

В горизонтально расположенной трубке с одним закрытым концом с помощью столбика ртути заперт воздух при температуре $27^{\circ}C$. Затем трубку переворачивают вертикально открытым концом вверх и нагревают на $60^{\circ}C$, в результате чего объём запертого воздуха становится таким же, как и был в горизонтальном положении. Найдите $d$ — высоту столбика ртути, если атмосферное давление равно 750 мм рт. ст.

Решение. Задача, обратная предыдущей.

Для воздуха, запертого ртутью, запишем два раза закон Менделеева-Клапейрона: для начального и подогретого состояний.

$$p_0V=\nu RT$$

$$(p_0+\rho g d)V=\nu R (T+\Delta T)$$

Вычитаем из второго первое:

$$\rho g dV=\nu R\Delta T$$

Откуда

$$ d =\frac{\nu R\Delta T }{\rho g V }$$

Из первого уравнения

$$ V =\frac{\nu R T }{p_0 }$$

Подставим в выражение для $d$:

$$d=\frac{p_0\Delta T }{\rho g T}$$

Для данных в мм рт. ст.

$$d=\frac{p_0\Delta T }{T}=\frac{750\cdot 60}{300}=150$$

Ответ: 150 мм

 

Задача 5.

Сосуд, закреплённый открытым концом на стержне горизонтально, может свободно вращаться без трения. В сосуде расположен столбик ртути длиной 1 см и ее центр расположен на расстоянии 20 см от центра вращения. Столбиком ртути в сосуде заперт воздух. Сосуд вращают с угловой скоростью $\omega_1=10$ рад/с. Во сколько раз надо увеличить температуру в сосуде, чтобы при увеличении угловой скорости в 4 раза ртуть оставалась в том же самом положении относительно центра вращения. Атмосферное давление $p_0=10^5$ Па.

Решение. Запишем второй закон Ньютона для ртути:

$$ma_n=pS-p_0S \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$

$$m\omega^2l= pS-p_0S\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$$

$$\frac{ m\omega^2l }{S}=p-p_0=\frac{\nu R T}{V}-p_0$$

Аналогично полученному выражению я могу записать такое же и для большей частоты вращения:

$$\frac{ m\cdot16\omega^2 l }{S}=\frac{\nu R T_x}{V}-p_0$$

Вычту уравнения (из последнего – предпоследнее)

$$\frac{ m\cdot15\omega^2 l }{S}=\frac{\nu R }{V}(T_x -T)$$

«Распишем» массу:

$$\frac{ \rho S h\cdot15\omega^2 l }{S}=\frac{\nu R }{V}(T_x -T)$$

$$ \rho h\cdot 15\omega^2 l =\frac{\nu R }{V}(T_x -T)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (*)$$

Осталось подставить $\frac{\nu R }{V}$, для этого вернемся к (2):

 

$$m\omega^2l= pS-p_0S$$

$$ m\omega^2l= \frac{\nu R T}{V}S-p_0S$$

$$ \rho S h \omega^2l= \frac{\nu R T}{V}S-p_0S$$

$$ \rho h \omega^2l= \frac{\nu R T}{V}-p_0$$

$$\frac{\nu R T}{V}= \rho h \omega^2l+p_0$$

Делим на $T$ и подставляем в (*):

$$ \rho h\cdot 15\omega^2 l =\frac{\rho h \omega^2l+p_0}{T}\cdot (T_x -T)$$

$$ \rho h\cdot 15\omega^2 l =(\rho h \omega^2l+p_0)\left(\frac {T_x }{T} -1)$$

Перепишем, упрощая, и представляя давления в мм рт.ст.:

$$ 15\omega^2 l =(\omega^2 l+p_0)\left(\frac {T_x }{T} -1\right)$$

$$\frac {T_x }{T} -1=0,32$$

$$\frac {T_x }{T} =1,32$$

Это и есть ответ.

Ответ: 1,32.