Трубки со ртутью

Когда трубка расположена горизонтально, то давления в правом и левом воздушных карманах одинаковы.  Когда трубку перевернут вертикально, давление в верхней части станет меньше (так как объем увеличится из-за сползания столбика ртути вниз под действием силы тяжести), а в нижнем – больше (будет давить столбик ртути). На этом и будем основывать решения подобных задач.

Задача 1. Посередине откачанной и запаянной с обоих концов горизонтальной трубки длиной 1 м находится столбик ртути длиной 20 см. Если трубку поставить вертикально, столбик ртути сместится на 10 см. До какого давления была откачана трубка?

Когда трубка расположена горизонтально, то давления в правом и левом воздушных карманах одинаковы. И объемы карманов одинаковы, так как по условию столбик находится посередине. Обозначим давление в воздушном кармане при таком положении трубки $p_1$ - это наша искомая величина. Когда трубку перевернут вертикально, давление в верхней части станет меньше (так как объем увеличится из-за сползания столбика ртути вниз под действием силы тяжести), а в нижнем – больше (будет давить столбик ртути)

К задаче 1 - трубка расположена горизонтально

К задаче 1 - трубка расположена вертикально

$$p_2S=mg+p_3S$$

Здесь $p_3$ - это давление в верхнем кармане, $p_2$ - в нижнем. Температура не меняется, следовательно, когда трубку поставят вертикально, то для нижнего кармана

$$p_1V_1=p_2V_2$$

$$p_1=\frac{ p_2V_2}{ V_1}$$

Подставим $p_2$:

$$p_1=\frac{ (mg+p_3S )V_2}{ SV_1}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$

Для верхнего кармана

$$p_1V_1=p_3V_3$$

$$p_3=\frac{p_1V_1}{V_3}$$

Подставим это выражение в (1):
$$p_1=\frac{ (mg+\frac{p_1V_1S}{V_3})V_2}{SV_1}=\frac{mg}{S}+\frac{p_1V_2}{V_3}$$

Но объемы пропорциональны высотам карманов, так как сечение у трубки везде одинаковое. Поэтому

$$p_1=\frac{mg}{S}+\frac{p_1h_2}{h_3}$$

При этом $h_1=\frac{l-l_0}{2}$, $h_2=h_1-0,1$, $h_3=h_1+0,1$

Картинка

Выразим $p_1$:

$$p_1=\frac{mgh_2}{Sh_1}\cdot\frac{h_3}{h_3-h_2}$$

Давление столбика ртути запишем так

$$\frac{mg}{S}=\rho g l_0$$

Тогда

$$p_1=\frac{\rho l_0 gh_2}{h_1}\cdot\frac{h_3}{h_3-h_2}=\frac{13600\cdot0,2\cdot10\cdot 0,3}{0,4}\cdot\frac{0,5}{0,2}=51000$$

Ответ: 51 кПа.
Задача 2. В трубке с газом длиной 1,73 м, закрытой с обоих концов, находится столбик ртути длиной 30 см. Когда трубка расположена вертикально, столбик ртути делит трубку на две равные части. Давление газа над ртутью равно 8 кПа. На какое расстояние сместится столбик ртути, если трубку положить горизонтально?

К задаче 2 - трубка расположена вертикально

Сначала, когда трубка стоит вертикально, объемы воздушных карманов равны, но не равны давления в них. Пусть в верхнем кармане давление $p_1$, а в нижнем -  $p_2$. Так как сечение трубки одинаково, то можно записать, что высоты карманов (а высоты определяют объемы) равны – пусть это будет длина $h_0$. Тогда

$$h_0=\frac{L-l}{2}$$

Где $L=1,73$ - длина всей трубки, $l$ - длина столбика ртути.

К задаче 2 - трубка расположена горизонтально

Когда трубку положат, то давления уравняются, а объемы перестанут быть равными. Длина кармана, что был вверху, уменьшится, а кармана, бывшего внизу – увеличится. Процесс выравнивания давлений – изотермический, поэтому для верхнего кармана

$$p_1V_0=p_1’V_1$$

Для нижнего:

$$p_2V_0=p_2’V_2$$

Но, как мы заметили ранее, давления выровняются, поэтому $ p_1’= p_2’$. Разделим уравнения друг на друга с учетом сказанного:

$$\frac{V_1}{V_2}=\frac{p_1}{p_2}$$

Заменяя объемы на высоты карманов ($h_1$ - новая длина кармана, бывшего вверху, $h_2$ - новая высота нижнего кармана), получим:

$$\frac{h_1}{h_2}=\frac{p_1}{p_2}$$

Давление $p_2$ можно записать для вертикального положения трубки:

$$p_2=p_1+\rho g l$$

Тогда

$$\frac{h_1}{h_2}=\frac{p_1}{ p_1+\rho g l }$$

$$h_1=\frac{p_1 h_2}{ p_1+\rho g l }$$

Но

$$L=h_1+h_2+l$$

Следовательно,

$$h_1= L-h_2-l$$

$$ L-h_2-l=\frac{p_1 h_2}{ p_1+\rho g l }$$

$$ L -l=\frac{p_1 h_2}{ p_1+\rho g l } +h_2$$

$$h_2=\frac{L-l}{1+\frac{p_1}{ p_1+\rho g l }}$$

$$ h_2=\frac{(L-l)( p_1+\rho g l)}{2p_1+\rho g l }$$

$$\Delta h=h_0-h_2=\frac{L-l}{2}-h_2=\frac{L-l}{2}-\frac{(L-l)( p_1+\rho g l)}{2p_1+\rho g l }$$

Подставим числа:

$$\Delta h=\frac{1,73-0,3}{2}-\frac{(1,73-0,3)( 8000+136000\cdot0,3)}{16000+136000\cdot0,3}=0,715-1,228=-0,513$$

Так как $h_2$ больше, чем $h_0$, то логичен отрицательный результат. Но нам знак в данном случае не важен, а важен модуль этого перемещения: 51,3 см.

Ответ: 51,3 см.
Задача 3. Узкая цилиндрическая трубка, закрытая с одною конца, содержит воздух, отделенный от наружного воздуха столбиком ртути. Когда трубка обращена закрытым концом кверху, воздух внутри нее занимает длину $l_1$. Когда же трубка повернута открытым концом вверх, воздух в ней занимает длину $l_2$. Длина столбика ртути равна $h$. Определите атмосферное давление.

К задаче 3

Трубка повернута открытым концом вниз. Атмосферное давление удерживает столбик ртути внутри нее:

$$p_0=p_1+\rho g h$$

Теперь перевернем трубку. На воздушный карман давит атмосфера да еще и столбик ртути:

$$p_2=p_0+\rho g h$$

К этому можно еще добавить закон Бойля-Мариотта:

$$p_1V_1=p_2V_2$$

Или, так как сечение трубки одинаковое по всей длине, то

$$p_1l_1=p_2l_2$$

Подставляем:

$$l_1(p_0-\rho g h)=l_2(p_0+\rho g h)$$

$$p_0(l_1-l_2)= \rho g h(l_2+l_1)$$

Откуда

$$p_0=\frac{\rho g h(l_2+l_1)}{ l_1-l_2}$$
Ответ: $p_0=\frac{\rho g h(l_2+l_1)}{ l_1-l_2}$