Три задачи с поршнями - 2

Задача 1.

Закрытый с обеих сторон цилиндр разделен на две равные (длиной по $l=42$ см) части теплонепроводящим поршнем. В обеих половинах находятся одинаковые массы газа при температуре $t=27^{\circ}C$ и нормальном атмосферном давлении. На сколько градусов надо нагреть газ в одной части цилиндра, чтобы поршень сместился на 2 см?

Решение. В одной из частей цилиндра процесс изотермический:

$$p_1V_1=p_2\cdot \frac{20}{21}V_1$$

Объем в этой части изменился в  $\frac{20}{21}$ раза.

А для нагреваемой части сосуда процесс сложнее (меняются все три параметра):

$$\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}$$

$$\frac{p_1 V_1}{T_1}=\frac{p_2\cdot \frac{22}{21}V_1}{T_1+\Delta T}$$

$$\frac{p_2\cdot \frac{20}{21}V_1}{T_1}=\frac{p_2\cdot \frac{22}{21}V_1}{T_1+\Delta T}$$

Объем нагреваемой части изменился в $\frac{22}{21}$ раза.

$$\frac{20}{T_1}=\frac{22}{T_1+\Delta T}$$

$$22T_1=20T_1+20\Delta T$$

$$2T_1=20\Delta T$$

$$\Delta T=\frac{T_1}{10}=\frac{300}{10}=30$$

Ответ: $\Delta T=30$ К

Задача 2.

В вертикальном гладком цилиндре с площадью сечения $S=4$ см² под поршнем массой 800 г находится газ. При увеличении абсолютной температуры газа в $n=1,5$ раза поршень поднимается вверх и упирается в уступы. При этом объем газа по сравнению с первоначальным увеличивается в $k=1,2$ раза. Определить силу, с которой поршень давит на уступы. Атмосферное давление $p=100$кПа.

Решение. Запишем уравнение по закону Менделеева-Клапейрона

$$pV=\nu RT$$

Перепишем:

$$\left(\frac{mg}{S}+p_0\right)V=\nu RT_0$$

Так как температура и объем изменились, то для нового состояния

$$\left(\frac{mg}{S}+p_0+p_x\right)\cdot 1,2V=\nu R\cdot 1,5T_0$$

Разделим уравнения:

$$\frac{\left(\frac{mg}{S}+p_0+p_x\right)\cdot 1,2}{\frac{mg}{S}+p_0}=1,5$$

$$\frac{mg}{S}+p_0+p_x=\frac{15}{12}\left(\frac{mg}{S}+p_0\right)$$

$$p_x=0,25p_0+0,25\frac{mg}{S}=\frac{10^5}{4}+\frac{1}{4}\cdot\frac{0,8\cdot 10}{4\cdot 10^{-4}}=0,3\cdot 10^5$$

$$F=p_xS=0,3\cdot 10^5\cdot 4\cdot 10^{-4}=12$$

Ответ: 12 Н.

Задача 3.

В цилиндре на пружине подвешен поршень массой $m_1=20$ кг и площадью поперечного сечения $S=200$см². В положении равновесия поршень находится у дна цилиндра, но на дно не давит. Под поршень закачивают воздух массой $m_2=29$ г, при этом поршень поднимается на высоту $h=15$ см. Определите жесткость пружины.  Температура воздуха $17^{\circ}C$.

Решение. Cила тяжести, действующая на поршень, равна 200 Н. Определим силу давления газа на поршень:

$$pV=\nu R T$$

$$pS=\frac{\nu R T S}{V}=\frac{1\cdot 8,31\cdot 290}{0,15}=16066$$

Значит, газ сожмет пружину

$$mg+F_{upr}=pS$$

Тогда

$$kx=pS-mg=16066-200$$

$$k=\frac{16066-200}{0,15}=10,5\cdot 10^4$$

Ответ: жесткость пружины $k=10,5\cdot 10^4$ Н/м.