Термодинамическая задача о трубке со ртутью

Задача.

Нижний конец вертикальной трубки длиной $L=1,5$ м запаян, а верхний открыт в атмосферу. При температуре $7^{\circ}$C в нижней половине трубки находится газ, а верхняя половина заполнена ртутью. Температуру газа медленно изменяют. На сколько градусов ее надо повысить, чтобы газ вытеснил из трубки всю ртуть? Атмосферное давление нормальное.

Решение. В ходе процесса объем газа увеличивается с $V_1=\frac{SL}{2}$ до $V_2=SL$

Уравнение равновесия столба ртути:

$$p=p_0+\frac{\rho g L}{2}$$

Но $\frac{L}{2}$  - это 750 мм, то есть

$$p=p_0+p_0=2p_0$$

Это начальное давление газа. Конечное равно $p_0$. Видим, что выполняется закон Бойля-Мариотта. Значит, максимальная температура где-то между начальной и конечной точками процесса: см. рисунок.

Температура пропорциональна произведению $pV$Поэтому в некоторой точке, cоответствующей касанию процесса и красной изотермы, можно записать:

$$V_x=S(L-x)$$

$$p_x=\rho g \left(\frac{L}{2}+x\right)$$

Определяем произведение:

$$p_xV_x=S(L-x)\cdot \rho g \left(\frac{L}{2}+x\right)$$

$$ p_xV_x=S\rho g \cdot \left(\frac{L^2}{2}+\frac{L}{2}x-x^2\right)$$

Это парабола ветвями вниз, ее максимум  - в вершине.

$$-\frac{b}{2a}=\frac{-\frac{L}{2}}{-2}=\frac{L}{4}$$

Тогда максимальная температура пропорциональна

$$ p_xV_x=S\rho g \cdot \left(\frac{L^2}{2}+\frac{L}{2}\cdot\frac{L}{4}-\frac{L^2}{16}\right)=\frac{9L^2}{16} S\rho g =\nu RT_2$$

Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для начального состояния

$$p_1V_1=2p_0\cdot \frac{SL}{2}=\frac{\rho g L}{2}\cdot SL=\nu R T_1$$

Из него найдем произведение $\rho g L^2S$:

$$\nu RT_2=\frac{9L^2}{16} S\rho g=\frac{9}{8}\nu R T_1$$

$$T_2=\frac{9}{8}T_1=1,125\cdot 280=315$$

Определяем разность температур

$$\Delta T=T_2-T_1=315-280=35$$

Ответ: 35 К