Свойство изотерм: задачи Сириуса.

Задача 1.

С идеальным газом проводят циклический процесс 1−2−3−4−1, состоящий из двух изотерм 1−2 и 3−4 и двух изобар 2−3  и 4−1. Известно, что отношение температур на изотермах 1−2 и 3−4 равно $\frac{T_{34}}{T_{12}}=2$, а на участке изотермического расширения газ получал в три раза больше тепла, чем на участке изобарического нагревания 2−3. Найдите КПД цикла. Ответ дайте в процентах, округлив до десятых.

Рисунок к задаче 1

Решение. Пусть на участке изобарического расширения газ получил тепло $Q$, тогда на участке изотермического расширения газ получил $3Q$ теплоты. Причем эти $3Q$ - это работа газа, потому что на изотерме не меняется внутренняя энергия. Свойство изотерм – это отношение работ, совершенных на двух изотермах:

$$\frac{A_1}{A_2}=\frac{T_1}{T_2}$$

При условии, что обе эти изотермы лежат между двух изобар – то есть давления на концах изотерм одинаковы, или между двух изохор. Свойство легко получается из уравнения Менделеева-Клапейрона, если его продифференцировать по объему.

Тогда, возвращаясь к нашей задаче, $ A_{34}= 3A$, $Q_{23}=A$. Так как изменение внутренней энергии за цикл равно нулю, то $\Delta U_{41}=\Delta U_{23}$. А работа в процессе 4-1 по модулю такая же, как и в процессе 2-3, так как изменение температуры одно и то же.

По свойству изотерм

$$\frac{A_{34}}{\mid A_{12}\mid}=\frac{2}{1}$$

Откуда

$$\mid A_{12}\mid=1,5A$$

Значит, за цикл газ получил

$$Q_{pol}=Q_{23}+Q_{34}=4A$$

А отдал

$$Q_{34}+Q_{41}=1,5A+A=2,5A$$

Таким образом, КПД цикла

$$\eta=1-\frac{Q_{otd}}{Q_{pol}}=1-\frac{2,5A}{4A}=0,375$$

Ответ: 37,5%

Задача 2.

Рабочий цикл тепловой машины состоит из двух изохор и двух изотерм. Работа в этом цикле положительна, и она в $k=2$ раза меньше, чем количество теплоты, полученное газом в процессе изохорного нагревания. Абсолютные температуры изотерм отличаются в $n=1,6$ раза. Определите КПД этого цикла, если рабочим веществом является двухатомный идеальный газ. Ответ дайте в процентах, округлив до десятых.

Рисунок к задаче 2

Решение. По свойству изотерм

$$\frac{A_{12}}{\mid A_{34}\mid}=\frac{16}{10}$$

Откуда

$$ A_{12} =\mid 1,6A_{34}\mid $$

Пусть $Q_{41}=2A$, а $A_Z=A$. Тогда

$$A_Z=A_{12}-\mid A_{34}\mid =1,6A_{34}-\mid A_{34}\mid=0,6A_{34}=A$$

Откуда

$$A_{34}=\frac{5}{3}A$$

Значит, за цикл газ получил

$$Q_{pol}=Q_{41}+Q_{12}= Q_{41}+A_{12}=Q_{41}+A_{34}+A_Z=2A+\frac{5}{3}A +A=\frac{14}{3}A$$

А отдал

$$ Q_{otd}= Q_{23}+Q_{34}=2A+\frac{5}{3}A=\frac{11}{3}A$$

Здесь я рассуждала так же, как и в предыдущей задаче: так как изменение внутренней энергии за цикл равно нулю, то $\Delta U_{41}=\Delta U_{23}=Q_{23}=2A$.

Таким образом, КПД цикла

$$\eta=1-\frac{Q_{otd}}{Q_{pol}}=1-\frac{11}{14}=0,214$$

Ответ: 21,4%

Задача 3.

Один моль одноатомного идеального газа участвует в циклическом процессе, состоящем из двух изотерм и двух изохор. При изохорическом нагревании газ получает 1000 Дж теплоты, а при изотермическом расширении газ получает еще 500 Дж теплоты. Известно, что минимальная температура газа в процессе равна 300 К. Найдите максимальную температуру газа в цикле. Ответ дайте в К, округлив до целого числа. Определите КПД цикла. Ответ дайте в процентах, округлив до целого числа.

Решение.

Рисунок к задаче 3

Газ получал тепло в процессах 4-1 и 1-2:

$$Q_{pol}=Q_{41}+Q_{12}=1000+500=1500$$

Так как изменение внутренней энергии за цикл равно нулю, то $\Delta U_{41}=\Delta U_{23}=Q_{23}=1000$.

$$\Delta U_{23}=\frac{3}{2}\nu R \Delta T_{23}$$

$$\Delta T_{23}=\frac{2\Delta U_{23}}{3\nu R }=\frac{2000}{3\cdot 8,31}=80,2$$

Значит, максимальная температура в цикле $T_1=T_2=T_3+\Delta T=380$ К.

Определим отданное в процессе 3-4 количество теплоты:

$$Q_{34}=A_{34}$$

По свойству изотерм

$$\frac{A_{12}}{\mid A_{34}\mid}=\frac{380}{300}$$

Откуда

$$\mid A_{34}\mid=\frac{500\cdot 300}{380}=395$$

Газ отдавал тепло в процессах 2-3 и 3-4:

$$ Q_{otd}= Q_{23}+Q_{34}=1000+395=1395$$

А КПД

$$\eta=1-\frac{Q_{otd}}{Q_{pol}}=1-\frac{1395}{1500}=0,07$$

Ответ: 7%