Столбики ртути и пузырьки воздуха в трубках

Сегодняшняя статья посвящена довольно сложным задачам. Их можно отнести и к изопроцессам, и к гидростатике, и к задачам, связанным с использованием уравнения Менделеева-Клапейрона.

Задача 1.

Пробирка, расположенная горизонтально, заполнена ртутью так, что между дном пробирки и ртутью имеется пузырек воздуха. Когда пробирка ставится вертикально открытым концом вверх, объем пузырька уменьшается втрое. Чему равно атмосферное давление, если известно, что диаметр пробирки $d=1$ мм и содержит она $m=16$ г ртути?

Давайте запишем закон Бойля-Мариотта, так как очевидно, что температура во время поворотов пробирки одна и та же.

$$p_1V_1=p_2V_2$$

Можно сразу подставить объемы: если принять первоначальный объем пузырька воздуха за $3V$, тогда после поворота объем станет $V$:

$$p_1\cdot 3V=p_2\cdotV$$

Откуда

$$p_1=\frac{p_2}{3}$$

Теперь подумаем о давлениях. Вначале давление пузырька на ртутный столбик равно атмосферному, иначе бы столбик ртути начал бы перемещаться из-за разности давлений на него внутри и снаружи. Затем, когда пробирку поставили вертикально, давление пузырька увеличилось на величину давления столбика ртути - $\rho g h$. Поэтому

$$p_1=\frac{p_1+\rho g h }{3}$$

$$\frac{2p_1}{3}=\frac{\rho g h }{3}$$

Домножаем на 3:

$$2p_1=\rho g h$$

$$p_1=\frac{\rho g h}{2}$$

Определим теперь, какова же длина столбика ртути в пробирке.

$$m=\rho V=\rho\cdot Sh=\rho\cdot \frac{\pi d^2}{4}\cdot h$$

$$h=\frac{4m}{\pi d^2 \rho}$$

$$p_1=\frac{4\rho g m}{2\pi d^2 \rho }=\frac{2g m}{\pi d^2}=\frac{10\cdot 2\cdot0,016}{\pi \cdot 10^{-6}}=101859$$

Ответ: 101859 Па или 102 кПа.

 

Задача 2.

Посередине запаянной с обоих концов горизонтальной трубки находится столбик ртути длиной 10 см. В обеих половинах трубки находится воздух под давлением $p_0=760$ мм.рт.ст. Длина трубки $l=1$ м. На какое расстояние сместится столбик ртути, если трубку поставить вертикально?

Ртуть занимает 10 см, следовательно, воздух – 90 см. По 45 см с обеих сторон. Тогда по закону Бойля-Мариотта

$$p_0V_0=p_1V_1$$

И

$$p_0V_0=p_2V_2$$

Преобразуем:

$$ p_1=\frac{ p_0V_0}{V_1}=\frac{p_0Sh_0}{Sh_1}=\frac{p_0h_0}{h_1}$$

$$ p_2=\frac{ p_0V_0}{V_2}=\frac{p_0Sh_0}{Sh_2}=\frac{p_0h_0}{h_2}$$

Где $p_1$ - давление в верхней части трубки над столбиком ртути после поворота, $p_2$ - давление в нижней части трубки под столбиком ртути после поворота, $V_1$ и $V_2$ - новые объемы, занимаемые воздушными пузырями.

Для новых установившихся давлений можно записать:

$$p_2=p_1+\rho g h $$

Подставим ранее выраженные давления:

$$\frac{p_0h_0}{h_2}=\frac{p_0h_0}{h_1}+\rho g h $$

$$ p_0h_0\left(\frac{1}{h_2}-\frac{1}{h_1}\right)= \rho g h $$

$$ p_0h_0\left(\frac{h_1-h_2}{h_1 h_2}\right)= \rho g h $$

Теперь вспомним, что $h_1+h_2=l-h=0,9$ м.

Тогда

$$ p_0h_0\left(\frac{ l-h -2h_2}{h_1(l-h- h_2)}\right)= \rho g h $$

После подстановки всех известных данных и преобразований получим

$$10^5\cdot0,45(0,9-2h_2)=13600\cdot10\cdot0,1(0,9-h_2)h_2$$

$$h_2^2-7,5h_2+3=0$$

Корни 0,42 и 7,075 – второй, очевидно, смыслу задачи не соответствует.

Итак, получили, что столбик ртути сместился на 3 см – так как воздух в нижней части трубки теперь занимает 42 см по высоте, а не 45.

Ответ: на 3 см.

Задача 3.

В стеклянной трубке находится воздух, закрытый столбиком ртути длиной $l_1=8$ см. Если держать трубку открытым концом вверх, то длина воздушного столбика $l_2=4$ см. Если держать трубку открытым концом вниз, то длина воздушного столбика $h=5$ см. Определить атмосферное давление.

Запишем уравнения равновесия давлений для обоих положений трубки:

$$p_0+p_{Hg}=p_1$$

$$p_2+ p_{Hg}=p_0$$

Давление столбика ртути посчитать несложно:

$$ p_{Hg}=\rho g h=13600\cdot10\cdot0,08= 10880$$

Согласно уравнению Бойля-Мариотта

$$p_1V_1=p_2V_2$$

То есть

$$\frac{p_1}{p_2}=\frac{V_2}{V_1}=\frac{h_2}{h_1}=1,25$$

Вычитание двух первых уравнений дает:

$$p_0-p_2=p_1-p_0$$

$$2p_0=p_1+p_2=1,25p_2+p_2=2,25p_2$$

$$ p_0=1,125p_2$$

Тогда, возвращаясь ко второму уравнению, имеем:

$$p_2+ p_{Hg}=p_0$$

$$\frac{p_0}{1,125}+ p_{Hg}=p_0$$

$$ p_{Hg}=\frac{p_0}{9}$$

$$p_0=9 p_{Hg}=9\cdot10880=97920$$

Ответ: 97920 Па.

Задача 4.

Открытую с обеих сторон узкую трубку погружают в ртуть так, что над ртутью выступает конец $l_1=8$ см. Трубку закрывают и поднимают еще на расстояние $l_2=44$ см. Какую часть трубки при этом занимает воздух? Атмосферное давление $p_0=760$ мм.рт.ст.

Сначала воздух занимал объем $l_1S$, затем – больший. Давление его вначале равно атмосферному. Затем из-за изменения объема оно станет меньше. Соблюдается закон Бойля-Мариотта:

$$p_0V_0=pV$$

Условие равновесия давлений таково: вниз давит воздух и столбик ртути, снизу вверх – атмосфера:

$$p+\rho g h=p_0$$

Подставляем давление $p$, выраженное из закона Бойля-Мариотта:

$$\frac{ p_0V_0}{V}+\rho g h=p_0$$

$$\frac{ p_0l_1}{h}+\rho g h=p_0$$

$$p_0\left(1-\frac{l_1}{h}\right)= \rho g h_{Hg}$$

Высота столбика ртути в трубке равна $h_{Hg}=l_1+l_2-h$.

Подставим численные данные:

$$10^5h-10^5\cdot0,08=13600h(0,52-h)$$

$$136h^2+29,3h-8=0$$

Корнем этого уравнения является $h=0,157$. Воздух займет, таким образом, 15,7 см. Или 30,2%.

Ответ: 30,2% (15,7 см).

Задача 5.

В мензурке высотой $h=0,4$ м и сечением $S=12$ см$^2$, закрытой тонким невесомым поршнем, находится газ, молярная масса которого $M=0,029$ кг/моль. Поршень опускают и освободившуюся часть мензурки до краев заливают ртутью. При каких значениях температуры газа можно найти такое положение поршня, при котором поршень будет находиться в равновесии (т.е. ртуть, налитая в мензурку, не будет выбрасываться давлением газа)? Масса газа в мензурке $m_1=0,07$ г, внешним атмосферным давлением пренебречь.

Чтобы ртуть не выплеснулась, давление газа должно быть меньшим или равным давлению ее столба. Пусть газ занял объем $Sh_1$, а ртуть - $Sh_2$:

$$p \leqslant \rho g h_2$$

Применим уравнение Менделеева-Клапейрона:

$$pV= \frac{m}{M}RT$$

Подставим:

$$\rho g h_2V= \frac{m_1}{M}RT$$

$$\rho g h_2Sh_1\geqslant \frac{m_1}{M}RT$$

Таким образом,

$$T\leqslant \frac{\rho g h_2Sh_1 M}{ m_1R }$$

Но! У нас в правой части произведение двух взаимозависимых, но неизвестных нам величин: $ h_2h_1$. Чтобы их найти (или их произведение), предположим, что поршень сдвинулся вверх на малую величину $\Delta h$. Тогда можно для такого малого изменения записать:

$$pV_1=p_2(V_1+\Delta V)$$

$$p h_1=p_2(h_1+\Delta h)$$

Здесь

$$p=\rho g h_2$$

А

$$p_2=\rho g (h_2-\Delta h)$$

Следовательно,

$$\rho g h_2h_1=\rho g (h_2-\Delta h)( h_1+\Delta h)$$

$$ h_2h_1=(h_2-\Delta h)( h_1+\Delta h)$$

$$ h_2h_1=h_2h_1-\Delta h h_1+\Delta hh_2-\Delta h^2$$

Последним слагаемым можно пренебречь  в силу его малости. Поэтому

$$\Delta h h_1=\Delta hh_2$$

$$h_1=h_2=\frac{h}{2}$$

Вернемся к температуре:

$$T\leqslant \frac{\rho g h^2S M}{4 m_1R }=\frac{13600\cdot10\cdot0,4^2\cdot12\cdot10^{-4}\cdot0,029}{4 \cdot 7\cdot10^{-5}\cdot8,31}=319$$

Ответ: $T\leqslant 319$ К.