Подготовка в СУНЦ МГУ - МКТ, экзамен в 11 класс

Продолжаю серию статей с решением задач вступительного экзамена в СУНЦ МГУ. В этой статье вам предлагаются задачи по теме "Молекулярно-кинетическая теория". Задачи разные, иногда "на подумать" - довольно интересные.

Задача 1.

Закрытый цилиндрический сосуд, расположенный горизонтально, разделен на две части легкоподвижным теплопроводящим поршнем. Каково будет равновесное положение поршня, если в одну часть сосуда помещена некоторая масса кислорода, а в другую – такая же масса водорода? Длина сосуда равна 85 см. Газы считать идеальными.

Давления газов одинаковы, только при этом условии поршень придет в равновесное положение. Поэтому

$$p_O=\frac{m_O}{M_O V_O}RT$$

$$p_H=\frac{m_H}{M_H V_H}RT$$

$$p_O=p_H$$

$$\frac{m_O}{M_O V_O}=\frac{m_H}{M_H V_H}$$

Так как массы газов равны, можно сократить на них наше выражение и тогда получить отношение объемов:

$$\frac{V_O}{V_H}=\frac{M_H}{M_O}=\frac{1}{16}$$

Иными словами, 1 часть объема займет водород, а 16 частей – кислород. То есть делить сосуд нужно на $16+1=17$ элементарных объемов. Так как сечение сосуда всюду одинаково, то объемы относятся так же, как относятся длины частей сосуда:

$$l_H=\frac{l}{17}=\frac{85}{17}=5$$

$$l_O=80$$

Ответ: поршень расположится в 5 см от края сосуда, меньший объем занимает водород.

Задача 2.

Детский воздушный шарик, наполненный гелием, имеет объем $V=3$  л и находится при нормальных условиях. Шарик опускают в цистерну с горячей водой, имеющей температуру $t=90^{\circ}$, и располагают его на расстоянии $h=2$ м от поверхности воды. Найдите работу $A$, совершенную гелием при нагревании. Давлением, вызванным оболочкой шара, пренебречь.

Количество газа в шарике не изменится.  Также расширение газа происходит на одной и той же глубине, то есть процесс изобарический, давайте построим решение на этом факте.

Так как сначала газ находился в нормальных условиях, то и занять он должен был молярный объем:

$$V_0=\nu V_M$$

Откуда

$$\nu=\frac{V_0}{V_m}$$

Работа газа может быть найдена как

$$A=p\Delta V=\nu R\Delta T$$

$$A=\frac{V_0}{V_m} R (T_1-T_0)=\frac{3}{22,4}\cdot8,31\cdot90=100,16$$

Ответ: 100 Дж.

Задача 3.

В закрытом сосуде находится гелий при давлении $p$. Из сосуда выпускают треть газа, закрывают  сосуд и нагревают его до такой температуры, что давление гелия снова становится равным $p$. Сравните внутренние энергии газа в сосуде в начальном и конечном состояниях.

Внутренняя энергия гелия вначале определяется выражением:

$$U_1=\frac{3}{2}\nu_1 RT_1$$

А в конце:

$$U_2=\frac{3}{2}\nu_2 RT_2$$

Так как треть газа выпустили, то

$$\nu_2=\frac{2}{3}\nu_1$$

Давление неизменно, объем тоже, поэтому

$$pV=\nu_1 RT_1=\nu_2 RT_2$$

Или

$$T_2=\frac{\nu_1 T_1}{\nu_2}$$

Отношение внутренних энергий будет равно:

$$\frac{U_2}{U_1}=\frac{\nu_2 RT_2}{\nu_1 RT_1}=1$$

Ответ: $U_2=U_1$.

Задача 4.

Над одним молем идеального одноатомного газа проводят процесс, показанный на рисунке. Начальная температура газа $T_0=200$ К. Найдите количество теплоты $Q$, полученное газом в этом процессе, если отношение конечного давления к начальному $n=2$.

К задаче 4

Из графика видно, что процесс является изохорным. Так как $V=const$, то

$$\frac{p_0}{T_0}=\frac{p_1}{T_1}$$

$$T_1=\frac{T_0 p_1}{p_0}=\frac{T_0 np_0}{p_0}=nT_0$$

Работа в изохорном процессе равна 0, поэтому

$$Q=\Delta U$$

$$Q=\frac{3}{2}\nu R \Delta T =\frac{3}{2}\nu R (T_1-T_0)= \frac{3}{2}\nu R T_0(n-1)$$

Подставляем:

$$ Q=\frac{3}{2}\cdot 8,31 \cdot 200=2493$$

Ответ: $Q=2,5$ кДж.

Задача 5.

Давление гелия, находящегося в сосуде объемом $V=1$ л, после нагревания возросло на $\Delta p=10^5$ Па. Определите количество теплоты $Q$, сообщенной газу, считая его идеальным.

Так как работа (газ находится в сосуде) равна 0, то

$$Q=\frac{3}{2}\nu R \Delta T =\frac{3}{2}V \Delta p=\frac{3}{2} \cdot10^{-3}\cdot10^5=150$$

Ответ: $Q=150$ Дж.